Seja B=(x, y, z) uma base de V^3.
(3) Determine as coordenadas na base C do vetor b, sabendo que [b]B=(1,-3,2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base chamada B, formada pelos vetores x, y e z, que juntos formam um espaço tridimensional V^3. A questão nos dá as coordenadas do vetor b nessa base B, que são (1, -3, 2). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de b em outra base chamada C.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa ter as coordenadas de um vetor em uma base. Quando dizemos que [b]B = (1, -3, 2), estamos dizendo que podemos escrever b como uma combinação linear dos vetores da base B:
b = 1 cdot x + (-3) cdot y + 2 cdot z

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de b na base C, precisamos saber como os vetores da base B se relacionam com os vetores da base C. Supondo que sabemos como transformar de B para C, usamos uma matriz de mudança de base. Vamos chamar essa matriz de PB to C.

Passo 4

A matriz de mudança de base PB to C transforma as coordenadas de um vetor na base B para as coordenadas na base C. Assim, se temos [b]B, multiplicamos por PB to C para obter [b]C:
[b]C = PB to C cdot [b]B

Passo 5

Vamos supor que já temos a matriz PB to C. Por exemplo, se a base C for a base padrão, e os vetores de B forem expressos na base padrão, podemos construir PB to C com esses vetores. Mas como não temos informações específicas sobre C, vamos considerar que a matriz está dada.

Passo 6

Multiplicando a matriz PB to C pelas coordenadas de b na base B, obteremos as coordenadas de b na base C. Se a matriz PB to C for, por exemplo:
PB to C = a & b & c d & e & f g & h & i
Então:
[b]C = a & b & c d & e & f g & h & i cdot 1 -3 2 = a(1) + b(-3) + c(2) d(1) + e(-3) + f(2) g(1) + h(-3) + i(2)

Passo 7

Realizando as multiplicações e somas, obtemos as coordenadas de b na base C:
[b]C = a - 3b + 2c d - 3e + 2f g - 3h + 2i

Resposta

As coordenadas do vetor b na base C são (a - 3b + 2c, d - 3e + 2f, g - 3h + 2i), onde a, b, c, d, e, f, g, h e i são os elementos da matriz de mudança de base PB to C.

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