Seja uma base de .
(3) Determine as coordenadas na base do vetor , sabendo que .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base chamada , formada pelos vetores , e , que juntos formam um espaço tridimensional . A questão nos dá as coordenadas do vetor nessa base , que são . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de em outra base chamada .
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa ter as coordenadas de um vetor em uma base. Quando dizemos que , estamos dizendo que podemos escrever como uma combinação linear dos vetores da base :
Passo 3
Para encontrar as coordenadas de na base , precisamos saber como os vetores da base se relacionam com os vetores da base . Supondo que sabemos como transformar de para , usamos uma matriz de mudança de base. Vamos chamar essa matriz de .
Passo 4
A matriz de mudança de base transforma as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base . Assim, se temos , multiplicamos por para obter :
Passo 5
Vamos supor que já temos a matriz . Por exemplo, se a base for a base padrão, e os vetores de forem expressos na base padrão, podemos construir com esses vetores. Mas como não temos informações específicas sobre , vamos considerar que a matriz está dada.
Passo 6
Multiplicando a matriz pelas coordenadas de na base , obteremos as coordenadas de na base . Se a matriz for, por exemplo:
Então:
[b]C = a & b & c d & e & f g & h & i cdot 1 -3 2 = a(1) + b(-3) + c(2) d(1) + e(-3) + f(2) g(1) + h(-3) + i(2)
Passo 7
Realizando as multiplicações e somas, obtemos as coordenadas de b na base C:
[b]C = a - 3b + 2c d - 3e + 2f g - 3h + 2i
Resposta
As coordenadas do vetor b na base C são (a - 3b + 2c, d - 3e + 2f, g - 3h + 2i), onde a, b, c, d, e, f, g, h e i são os elementos da matriz de mudança de base PB to C.