Questão Uma empresa de tecnologia desenvolveu um software para resolver sistemas lineares que, em certas situaçōes, podem ser impossíveis ou indeterminados. Para testar o software foi proposto o sistema linear AX=b, em que:
A=(ccc 2 & -2 & 3 4 & k & 6 -2 & 3 & k-3 ), X=(l x1 x2 x3 ), b=(l 1 6 0 ), k in R
Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível e indeterminado, então encontre o valor de T+S.

Passo 1

Então, temos um sistema de equações lineares representado por AX = b , onde A é uma matriz 3x3 que depende de um parâmetro k . O objetivo é encontrar os valores de k que tornam o sistema impossível (sem solução) e indeterminado (infinitas soluções). Vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e análise de sistemas lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando um sistema de equações lineares tem soluções. Se o determinante da matriz dos coeficientes A for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se o determinante for zero, o sistema pode ser indeterminado ou impossível. Nosso foco está nos casos onde o determinante é zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A :
A = 2 & -2 & 3 4 & k & 6 -2 & 3 & k-3
O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 2(k(k-3) - 6 cdot 3) - (-2)(4(k-3) - 6 cdot (-2)) + 3(4 cdot 3 - k cdot (-2))
Vamos simplificar passo a passo.

Passo 4

Calculando cada parte:
  1. k(k-3) = k^2 - 3k
  2. 6 cdot 3 = 18
  3. 4(k-3) = 4k - 12
  4. 6 cdot (-2) = -12
  5. 4 cdot 3 = 12
  6. k cdot (-2) = -2k
Substituindo:
det(A) = 2[(k^2 - 3k) - 18] - (-2)[(4k - 12) - (-12)] + 3[(12) - (-2k)]

Passo 5

Simplificando dentro dos colchetes:
det(A) = 2(k^2 - 3k - 18) + 2(4k - 12 + 12) + 3(12 + 2k)
det(A) = 2(k^2 - 3k - 18) + 2(4k) + 3(12 + 2k)

Passo 6

Distribuindo os números:
det(A) = 2k^2 - 6k - 36 + 8k + 36 + 6k
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
2k^2 - 6k + 8k + 6k - 36 + 36 = 2k^2 + 8k
Portanto:
det(A) = 2k^2 + 8k

Passo 7

Fatorando o determinante:
det(A) = 2k(k + 4)
Para que o determinante seja zero:
2k(k + 4) = 0
Isso ocorre quando k = 0 ou k = -4 .

Passo 8

Agora, precisamos verificar para k = 0 e k = -4 se o sistema é impossível ou indeterminado.
Para isso, vamos formar a matriz aumentada [A|b] e calcular se o sistema tem solução.

Passo 9

Para k = 0 :
Matriz A :
2 & -2 & 3 4 & 0 & 6 -2 & 3 & -3
Vetor b :
1 6 0
Formando a matriz aumentada [A|b] :
2 & -2 & 3 & | & 1 4 & 0 & 6 & | & 6 -2 & 3 & -3 & | & 0
Vamos reduzir essa matriz para verificar a consistência.

Passo 10

Aplicando operações de linha:
  1. Dividir a primeira linha por 2:
1 & -1 & 1.5 & | & 0.5 4 & 0 & 6 & | & 6 -2 & 3 & -3 & | & 0
  1. Subtrair 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
1 & -1 & 1.5 & | & 0.5 0 & 4 & 0 & | & 4 -2 & 3 & -3 & | & 0
  1. Adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
1 & -1 & 1.5 & | & 0.5 0 & 4 & 0 & | & 4 0 & 1 & 0 & | & 1

Passo 11

Agora, vamos simplificar ainda mais:
  1. Dividir a segunda linha por 4:
1 & -1 & 1.5 & | & 0.5 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 1 & 0 & | & 1
  1. Subtrair a segunda linha da terceira linha:
1 & -1 & 1.5 & | & 0.5 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 12

Observamos que a terceira equação reduzida é 0 = 0 , o que é sempre verdadeiro. Portanto, o sistema é indeterminado para k = 0 , ou seja, tem infinitas soluções.

Passo 13

Para k = -4 :
Matriz A :
2 & -2 & 3 4 & -4 & 6 -2 & 3 & -7
Vetor b :
1 6 0
Formando a matriz aumentada [A|b] :
2 & -2 & 3 & | & 1 4 & -4 & 6 & | & 6 -2 & 3 & -7 & | & 0
Vamos reduzir essa matriz para verificar a consistência.

Passo 14

Aplicando operações de linha:
  1. Dividir a primeira linha por 2:
1 & -1 & 1.5 & | & 0.5 4 & -4 & 6 & | & 6 -2 & 3 & -7 & | & 0
  1. Subtrair 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
1 & -1 & 1.5 & | & 0.5 0 & 0 & 0 & | & 4 -2 & 3 & -7 & | & 0
  1. Adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
1 & -1 & 1.5 & | & 0.5 0 & 0 & 0 & | & 4 0 & 1 & -4 & | & 1

Passo 15

Observamos que a segunda equação reduzida é 0 = 4 , o que é impossível. Portanto, o sistema é impossível para k = -4 , ou seja, não tem solução.

Passo 16

Agora, sabemos que:
  • Para k = 0 , o sistema é indeterminado.
  • Para k = -4 , o sistema é impossível.
Portanto:
  • S (soma dos k que tornam o sistema indeterminado) = 0
  • T (soma dos k que tornam o sistema impossível) = -4

Resposta

T + S = -4 + 0 = -4

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