Seja
uma transformação linear.
Mostre que se
é um subespaço de
, então
é um subespaço de
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear
e que é um subespaço de
. Queremos provar que
e que
é subespaço de
. Para isso, usamos o teste de subespaço em
: mostramos que
.
contém o vetor zero de
;
.
é fechado sob soma;
.
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Como
é subespaço de
, temos
. Pela linearidade de
,
Logo
, pois
com
.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
. Então existem
tais que
Como
é subespaço,
. Pela linearidade de
,
Passo 4
Fechamento sob escalar: seja
e
um escalar. Então existe
tal que
. Como
é subespaço,
. Pela linearidade,