Seja T: V W uma transformação linear.
Mostre que se U é um subespaço de V, então
T(U)=T(u) ; u in U
é um subespaço de W.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear
Tcolon V to W
e que U é um subespaço de V. Queremos provar que
T(U) = ,T(u);;;uin U
é subespaço de W. Para isso, usamos o teste de subespaço em W: mostramos que
1. T(U) contém o vetor zero de W;
2. T(U) é fechado sob soma;
3. T(U) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Como U é subespaço de V, temos ,0Vin U. Pela linearidade de T,
T(0V) = 0W
Logo 0Win T(U), pois 0W = T(0V) com 0Vin U.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam y,zin T(U). Então existem u1,u2in U tais que
y = T(u1), z = T(u2)
Como U é subespaço, u1+u2in U. Pela linearidade de T,
y + z = T(u1) + T(u2) = T(u1 + u2)in T(U)

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja yin T(U) e alpha um escalar. Então existe uin U tal que y = T(u). Como U é subespaço, alpha uin U. Pela linearidade,
alpha,y = alpha,T(u) = T(alpha,u)in T(U)

Resposta

T(U) é subespaço de W.

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