Encontre todos os valores de c, se houver, com os quais a matriz dada é invertível.
[lllc & c & c 1 & c & c 1 & 1 & c]

Passo 1

O enunciado pede todos os valores de c para os quais a matriz
A = c & c & c [6pt] 1 & c & c [3pt] 1 & 1 & c
é invertível. Como estamos lidando com uma matriz quadrada 3times3, ela é invertível se, e somente se, det(A)neq 0. Vamos, então, calcular det(A).
]

Passo 2

Para calcular det(A) fazemos a expansão pela primeira linha:
a11=c, seu menor é
M11 ;=;detc & c [3pt] 1 & c ;=;ccdot c - ccdot1 = c^2 - c
a12=c, seu menor é
M12 ;=;det1 & c [3pt] 1 & c ;=;1cdot c - ccdot1 = 0
a13=c, seu menor é
M13 ;=;det1 & c [3pt] 1 & 1 ;=;1cdot1 - ccdot1 = 1 - c
Logo,
det(A) = c,(c^2 - c);-;c,(0);+;c,(1 - c) = c^3 - 2c^2 + c = c,(c-1)^2
]

Passo 3

A condição det(A)=0 equivale a
c,(c-1)^2 = 0,
cujas raízes são c=0 e c=1.

Passo 4

Portanto, a matriz A será invertível sempre que det(A)neq 0, isto é, para todos os valores de c tais que
c neq 0 e c neq 1

Resposta

A matriz é invertível para
c in Rsetminus0,1

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