Encontre todos os valores de a para os quais a inversa de
A=[lll 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 2 & a ]
existe. Calcule A^-1 nesses casos.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 2 & a
e pede os valores de a para os quais A^-1 existe e, nesses casos, calcular A^-1. Para isso vamos usar o critério de invertibilidade pelo determinante ( detAneq0) e em seguida o método da adjunta (cofatores).

Passo 2

Calculamos detA expandindo pela primeira linha:
detA =1cdotdet0&02&a -1cdotdet1&01&a +0cdot(cdots) =1cdot(0cdot a-0cdot2)-1cdot(1cdot a-0cdot1) =-a

Passo 3

Daí detA=-aneq0 implica
aneq0

Passo 4

Agora montamos a matriz de cofatores C=(Cij). Calculando os menores e aplicando o sinal (-1)^i+j obtemos
C= 0 & -a & 2 - a & a & -1 0 & 0 & -1

Passo 5

A adjunta é adj(A)=C^T, ou seja
adj(A) = 0 & -a & 0 - a & a & 0 2 & -1 & -1
Portanto
A^-1 =1detA;adj(A) =-1a 0 & -a & 0 - a & a & 0 2 & -1 & -1 = 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 -tfrac2a & tfrac1a & tfrac1a

Resposta

A^-1 existe se, e só se, aneq0. Nesse caso,
A^-1 = 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 -tfrac2a & tfrac1a & tfrac1a

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