Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: VI) Se A^2=0 (matriz nula), então, A=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a afirmação VI, que diz: “Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se ,A^2=0 (matriz nula), então A=0.”
O conteúdo envolvido é o conceito de matriz nilpotente: uma matriz A é nilpotente se existir kinN tal que A^k=0. Aqui temos o caso k=2.

Passo 2

Para testar a validade da afirmação, basta encontrar um contraexemplo: uma matriz Aneq0 que satisfaça A^2=0.
Considere a matriz
A = 0 & 1 [6pt] 0 & 0
Calculando o quadrado:
A^2 = 0 & 1 [3pt] 0 & 0 0 & 1 [3pt] 0 & 0 = 0cdot0 + 1cdot0 & 0cdot1 + 1cdot0 [3pt] 0cdot0 + 0cdot0 & 0cdot1 + 0cdot0 = 0 & 0 [3pt] 0 & 0
Aqui ,A^2=0 mas claramente Aneq0.]

Resposta

A afirmação VI é falsa.

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