Suponha que R^2 tem o produto interno cuclidiano e seja S=w1, w2 a base ortonormal com w1=(35,-45) e w2=(45, 35),
(a) Encontre os vetores u c v que tem (u)S=(1,1) e(v)s=(-1,4) como vetores de coordenadas.
(b) Calcule |u|, d(u, v) elang<=u, vrang<=

Passo 1

O enunciado trabalha com R^2 munido do produto interno euclidiano e uma base ortonormal
S = w1, w2,
onde
w1 = l(tfrac35,-tfrac45r), w2 = l(tfrac45,tfrac35r)
Precisamos (a) obter os vetores u e v em coordenadas canônicas a partir de ( u)S=(1,1) e ( v)S=(-1,4) e (b) calcular | u|, d( u, v) e lang<= u, vrang<=.

Passo 2

Como S é ortonormal, as coordenadas nos dão diretamente a expansão:
u = 1cdot w1 + 1cdot w2, v = (-1)cdot w1 + 4cdot w2

Passo 3

Somando as componentes:
u = l(tfrac35,-tfrac45r) + l(tfrac45,tfrac35r) = l(tfrac75,-tfrac15r),
v = l(-tfrac35,tfrac45r) + l(tfrac165,tfrac125r) = l(tfrac135,tfrac165r)

Passo 4

O comprimento de u é
| u| = raizl(tfrac75r)^2 + l(-tfrac15r)^2 = raiztfrac4925 + tfrac125 = raiz2

Passo 5

O produto interno é
lang<= u, vrang<= = l(tfrac75r)l(tfrac135r) + l(-tfrac15r)l(tfrac165r) = tfrac91 - 1625 = 3

Passo 6

A distância é a norma de u - v. Primeiro
u - v = l(tfrac75-tfrac135,-tfrac15-tfrac165r) = l(-tfrac65,-tfrac175r),
de modo que
d( u, v) = | u - v| = raizl(-tfrac65r)^2 + l(-tfrac175r)^2 = raiztfrac36 + 28925 = raiz13

Resposta

u = l(tfrac75, -tfrac15r), v = l(tfrac135, tfrac165r)
|u| = raiz2, d(u, v) = raiz13, lang<= u, v rang<= = 3.

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