encontre todos os valores de λ com os quais (A)=0.
A=[cccλ-4 & 0 & 0 0 & λ & 2 0 & 3 & λ-1]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar todos os valores de λ que fazem
det(A)=0
onde
A= λ-4 & 0 & 0 0 & λ & 2 0 & 3 & λ-1
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matrizes, em especial usar expansão por blocos ou cofactores. A gente vai precisar lembrar como se calcula det de uma matriz 2×2 e usar a propriedade de matriz “em bloco” (ou apenas notar que a primeira linha tem só um elemento não nulo).

Passo 2

Primeiro, um truque de teoria: se uma matriz é “quase” triangular, tipo
a & 0 0 & B ,
o determinante é det(a)timesdet(B). No nosso caso, A tem bloco 1×1 (λ-4) e bloco 2×2
B=λ&23&λ-1
Então
det(A)=(λ-4);det(B)

Passo 3

Agora calculamos . Pra matriz 2×2
,
. Aplicando em :
Logo

Passo 4

A condição pedida é det(A)=0. Então a gente resolve
(λ-4)(λ^2-λ-6)=0
Para achar as raízes, fatoramos o quadrático:
λ^2-λ-6=(λ-3)(λ+2)
Assim o produto só é zero se um dos fatores for zero.

Resposta

λ-4=0implies λ=4, λ-3=0implies λ=3, λ+2=0implies λ=-2
Portanto, os valores são
boxedλ=-2,;3,;4

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