Seja
A=(cc 1 & 0 -1 & 1 )
i. Encontre todas as matrizes B2 times 2 que comutam com A
ii. Mostre que A^2=2 A-I, onde I é a matriz identidade de ordem 2 times 2.
iii. Encontre a fórmula para A^n em função de A e I e calcule A^100.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 0 -1 & 1
e pede:
(i) todas as matrizes B que comutam com A;
(ii) mostrar que A^2 = 2A - I, onde I é a identidade 2times2;
(iii) encontrar a fórmula de A^n em função de A e I e calcular A^100.
Para isso vamos usar: equação matricial AB=BA, cálculo direto de potências e a decomposição A=I+N com N nilpotente.

Passo 2

Seja
Calculamos
Igualando entradas de e obtemos
(já garante ).
Logo
com .

Passo 3

Calculamos diretamente
A^2 = 1&0-1&1 1&0-1&1 = 1&0-2&1
Por outro lado
2A - I =21&0-1&1 - 1&00&1 = 1&0-2&1
Logo
A^2 = 2A - I

Passo 4

Note que
A = I + N, N = A - I = 0&0-1&0,
e verifica-se N^2=0. Pelo binômio de Newton
A^n = (I+N)^n = sumk=0^n binomnkN^k = I + nN = I + n(A-I) = nA - (n-1)I

Passo 5

Substituindo n=100 obtemos
A^100 = 100A - 99I =1001&0-1&1 -991&00&1 = 1&0-100&1

Resposta

i) Todas as matrizes que comutam com são
ii) .
iii)

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