Sejam
matrizes quadradas. Defina um novo produto
dado por
.
i. Mostre que
não é associativa, isto é,
.
ii. Mostre que se tem
i. Mostre que
ii. Mostre que se tem
Passo 1
O enunciado define, para matrizes quadradas
, o produto
Vamos mostrar duas coisas: i) que
não é associativo, ou seja, em geral
e ii) que sempre vale a identidade de Jacobi
Passo 2
Calculemos primeiro
Distribuindo, obtemos
Passo 3
Agora calculemos
Distribuindo, obtemos
Passo 4
Para ver que não há, em geral, igualdade entre esses dois resultados, subtraímos:
Cancelando termos iguais, sobra
que em geral é não nula. Logo
não é associativa.
Passo 5
Por fim, mostremos a identidade de Jacobi. Somemos os três termos em cima:
Usando as expansões já feitas e as análogas para cada cyclicamente, observa-se que todos os produtos de três matrizes aparecem em pares com sinais opostos, de modo que a soma total se anula.
Resposta
i. Em geral
logo
não é associativa.
ii. Sempre vale
ii. Sempre vale