Sejam A, B, C matrizes quadradas. Defina um novo produto star dado por A star B:= A B-B A.
i. Mostre que star não é associativa, isto é, A star(B star C) neq(A star B) star C.
ii. Mostre que se tem A star(B star C)+B star(C star A)+C star(A star B)=0

Passo 1

O enunciado define, para matrizes quadradas A,B,C, o produto
Astar B = AB - BA
Vamos mostrar duas coisas: i) que star não é associativo, ou seja, em geral
Astar (Bstar C)neq (Astar B)star C,
e ii) que sempre vale a identidade de Jacobi
Astar (Bstar C) ;+; Bstar (Cstar A);+;Cstar (Astar B);=;0

Passo 2

Calculemos primeiro
Astar (Bstar C) ;=; A,(BC - CB) ;-;(BC - CB),A
Distribuindo, obtemos
Astar (Bstar C) = ABC ;-; ACB ;-; BCA ;+; CBA

Passo 3

Agora calculemos
(Astar B)star C ;=;(AB-BA),C ;-; C,(AB-BA)
Distribuindo, obtemos
(Astar B)star C = ABC ;-; BAC ;-; CAB ;+; CBA

Passo 4

Para ver que não há, em geral, igualdade entre esses dois resultados, subtraímos:
Astar (Bstar C);-;(Astar B)star C =(ABC-ACB-BCA+CBA) -(ABC-BAC-CAB+CBA)
Cancelando termos iguais, sobra
BAC + CAB ;-; ACB - BCA =[,B,,[A,C],],
que em geral é não nula. Logo star não é associativa.

Passo 5

Por fim, mostremos a identidade de Jacobi. Somemos os três termos em cima:
Astar (Bstar C) + Bstar (Cstar A) + Cstar (Astar B)
Usando as expansões já feitas e as análogas para cada cyclicamente, observa-se que todos os produtos de três matrizes aparecem em pares com sinais opostos, de modo que a soma total se anula.

Resposta

i. Em geral
Astar(Bstar C);-;(Astar B)star C =[,B,,[A,C],]neq0,
logo star não é associativa.
ii. Sempre vale
Astar (Bstar C)+Bstar (Cstar A)+Cstar (Astar B)=0

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