Questão 22. Encontre todos os cofatores da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\\\ 6 & 7 & -1 \\\\ -3 & 1 & 4 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os cofatores da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\\\ 6 & 7 & -1 \\\\ -3 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Informações dadas (peguei do enunciado): os elementos de A são exatamente os indicados na matriz acima. A tarefa é calcular C_{ij} para todos i,j\in\{1,2,3\}.

Passo 2

O que é um cofator? Vou explicar de forma bem direta e prática, do jeito que cai na prova.
  • Primeiro definimos o menor M_{ij} como o determinante da matriz 2\times2 que fica quando riscamos a linha i e a coluna j de A.
  • O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Aqui (-1)^{i+j} é só um sinal que alterna conforme a posição; na prática isso forma o padrão tipo “tabuleiro de xadrez”:
\begin{matrix} + & - & + \\\\ - & + & - \\\\ + & - & + \end{matrix}.
  • Para calcular cada M_{ij} (determinante 2\times2) uso a fórmula
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Agora calculo cada menor e, em seguida, aplico o sinal para obter o cofator.

Passo 3

Calcular M_{11} (risco linha 1 e coluna 1): a submatriz é
\begin{pmatrix} 7 & -1\\[4pt] 1 & 4 \end{pmatrix}.
Seu determinante é
M_{11}=7\cdot4-(-1)\cdot1=28+1=29.
O sinal para C_{11} é (-1)^{1+1}=+1. Logo
C_{11}=+29.]

Passo 4

Calcular M_{12} (riscando linha 1, coluna 2): a submatriz é
\begin{pmatrix} 6 & -1\\[4pt] -3 & 4 \end{pmatrix}.
Determinante:
M_{12}=6\cdot4-(-1)\cdot(-3)=24-3=21.
O sinal para C_{12} é (-1)^{1+2}=-1. Logo
C_{12}=-21.]

Passo 5

Calcular M_{13} (riscando linha 1, coluna 3): a submatriz é
\begin{pmatrix} 6 & 7\\[4pt] -3 & 1 \end{pmatrix}.
Determinante:
M_{13}=6\cdot1-7\cdot(-3)=6+21=27.
Sinal (-1)^{1+3}=+1. Então
C_{13}=+27.]

Passo 6

Calcular M_{21} (riscando linha 2, coluna 1): a submatriz é
\begin{pmatrix} -2 & 3\\[4pt] 1 & 4 \end{pmatrix}.
Determinante:
M_{21}=(-2)\cdot4-3\cdot1=-8-3=-11.
Sinal (-1)^{2+1}=-1. Assim
C_{21}=(-1)\cdot(-11)=+11.]

Passo 7

Calcular M_{22} (riscando linha 2, coluna 2): a submatriz é
\begin{pmatrix} 1 & 3\\[4pt] -3 & 4 \end{pmatrix}.
Determinante:
M_{22}=1\cdot4-3\cdot(-3)=4+9=13.
Sinal (-1)^{2+2}=+1. Logo
C_{22}=+13.]

Passo 8

Calcular M_{23} (riscando linha 2, coluna 3): a submatriz é
\begin{pmatrix} 1 & -2\\[4pt] -3 & 1 \end{pmatrix}.
Determinante:
M_{23}=1\cdot1-(-2)\cdot(-3)=1-6=-5.
Sinal (-1)^{2+3}=-1. Então
C_{23}=(-1)\cdot(-5)=+5.]

Passo 9

Calcular M_{31} (riscando linha 3, coluna 1): a submatriz é
\begin{pmatrix} -2 & 3\\[4pt] 7 & -1 \end{pmatrix}.
Determinante:
M_{31}=(-2)\cdot(-1)-3\cdot7=2-21=-19.
Sinal (-1)^{3+1}=+1. Logo
C_{31}=-19.]

Passo 10

Calcular M_{32} (riscando linha 3, coluna 2): a submatriz é
\begin{pmatrix} 1 & 3\\[4pt] 6 & -1 \end{pmatrix}.
Determinante:
M_{32}=1\cdot(-1)-3\cdot6=-1-18=-19.
Sinal (-1)^{3+2}=-1. Então
C_{32}=(-1)\cdot(-19)=+19.]

Passo 11

Calcular M_{33} (riscando linha 3, coluna 3): a submatriz é
\begin{pmatrix} 1 & -2\\[4pt] 6 & 7 \end{pmatrix}.
Determinante:
M_{33}=1\cdot7-(-2)\cdot6=7+12=19.
Sinal (-1)^{3+3}=+1. Logo
C_{33}=+19.]

Passo 12

Verificação rápida (opcional, mas boa para conferir): a expansão do determinante por qualquer linha usando os cofatores deve dar o mesmo valor. Por exemplo, pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot C_{11}+(-2)\cdot C_{12}+3\cdot C_{13}=1\cdot29+(-2)\cdot(-21)+3\cdot27=29+42+81=152,
o que confirma a coerência dos cofatores calculados (chequei também por outras linhas e deu 152).

Resposta

\operatorname{Cof}(A)=\begin{pmatrix} 29 & -21 & 27\\[4pt] 11 & 13 & 5\\[4pt] -19 & 19 & 19 \end{pmatrix}]

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