Encontre todos os valores de x que satisfaçam as seguintes desigualdades:
2 xx-2>1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
2xx-2 > 1
Isso é conteúdo de inequações de frações: primeiro identificamos o domínio ( xneq2), depois metemos tudo num só lado e estudamos o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Subtraímos 1 de ambos os lados para ter apenas uma fração:
2xx-2 - 1 = 2x - (x-2)x-2 = x+2x-2
Logo a desigualdade vira
x+2x-2 > 0

Passo 3

Identificamos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador mudam de sinal:
o numerador zera em x=-2 e o denominador em x=2 (onde a expressão não existe). Assim particionamos a reta em três intervalos: (-infty,-2), (-2,2) e (2,infty).

Passo 4

Fazendo o teste de sinal em cada intervalo:
— Em (-infty,-2): x+2<0 e x-2<0, então x+2x-2>0.
— Em (-2,2): x+2>0 e x-2<0, então x+2x-2<0.
— Em (2,infty): x+2>0 e x-2>0, então x+2x-2>0.
Não incluímos x=-2 porque aí o quociente vale zero (e queremos estritamente maior) nem x=2 porque a expressão é indefinida.

Resposta

A solução da desigualdade é
x in (-infty,-2);cup;(2,infty)

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