Questão 2. (2,0 pontos) Determine a equação paramétrica e a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto A na direção do vetor v :
(a) (1,0 pontos) A(-1,3) e v=(2,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação paramétrica e a equação cartesiana de uma reta que passa pelo ponto A(-1, 3) e tem direção do vetor v = (2, 1). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às equações de retas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica descreve as coordenadas x e y em função de um parâmetro t. Se uma reta passa por um ponto A(x0, y0) e tem direção do vetor v = (a, b), as equações paramétricas são:
x = x0 + at y = y0 + bt
Aplicando os valores do exercício:
x = -1 + 2t y = 3 + 1t

Passo 3

Agora, vamos derivar a equação cartesiana da reta, que relaciona diretamente x e y sem o parâmetro t. Para isso, isolamos t em uma das equações paramétricas e substituímos na outra.
Da equação x = -1 + 2t, isolamos t:
t = x + 12
Substituindo esse valor de t na equação de y:
y = 3 + x + 12
Simplificando:
y = 12x + 72

Resposta

A equação paramétrica da reta é:
x = -1 + 2t y = 3 + t
E a equação cartesiana da reta é:
y = 12x + 72

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