No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é:
Escolha uma opção:
x^2+y^2+(2 raiz8) x-(2 raiz8) y+8=0
x^2+y^2-4 x+4 y+4=0
x^2+y^2+(2 raiz10) x-(2 raiz10) y+10=0
Nenhuma das demais alternativas
x^2+y^2-(2 raiz10) x+(2 raiz10) y+10=0
x^2+y^2-(2 raiz8) x+(2 raiz8) y+8=0

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência que tangencia os eixos x e y, tem o centro no segundo quadrante e satisfaz distância do centro à origem =4. O conteúdo é geometria analítica e equação de circunferência.

Passo 2

Seja a circunferência em forma padrão
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,
com centro (a,b) e raio r. Para ser tangente ao eixo x é necessário lvert brvert = r e para ser tangente ao eixo y é necessário lvert arvert = r.

Passo 3

Como o centro (a,b) está no segundo quadrante, temos a<0 e b>0. Portanto
-r = a<0implies r = -a, b>0implies r = b
Logo a=-r e b=r.

Passo 4

A distância do centro (a,b)=(-r,r) até a origem é
raiza^2+b^2=raiz(-r)^2+r^2=raiz2r^2=rraiz2=4
e daí
r = 4raiz2 = 2raiz2
Logo o centro é l(-2raiz2,,2raiz2r) e o raio é 2raiz2.

Passo 5

Escrevendo a equação em forma centrada:
(x + 2raiz2)^2 + (y - 2raiz2)^2 = (2raiz2)^2 = 8
Expandindo,
x^2 + y^2 + 4raiz2,x - 4raiz2,y + 8 = 0
Como 4raiz2 = 2raiz8, resulta
x^2 + y^2 + (2raiz8)x - (2raiz8)y + 8 = 0

Resposta

A equação correta é
x^2+y^2+(2raiz8)x-(2raiz8)y+8=0.

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