Encontre todos os vetores u de norma 1 tais que u wed>=(i+j+k)=i-k. Para qual deles a base i+j+k, u, i-k é positiva?

Passo 1

Resume do enunciado: a gente quer achar todos os vetores unitários vec u que satisfazem vec uwed>=(vec i+vec j+vec k)=vec i-vec k. O conteúdo aqui é produto vetorial e orientação de base (determinante).

Passo 2

Escrever o produto vetorial em coordenadas. Seja vec u=(u1,u2,u3), vec v=vec i+vec j+vec k=(1,1,1) e vec w=vec i-vec k=(1,0,-1). O produto vec uwed>=vec v
(u2-u3,;u3-u1,;u1-u2)=(1,0,-1)

Passo 3

Extrair o sistema de equações:
u2-u3=1, u3-u1=0, u1-u2=-1

Passo 4

Resolver o sistema em função de u1. Da segunda equação u3=u1. Da terceira u2=u1+1. E a primeira se verifica automaticamente.

Passo 5

Impor norma 1 em vec u:
u1^2+(u1+1)^2+u1^2=1Longrightarrow3u1^2+2u1=0Longrightarrow u1(3u1+2)=0

Passo 6

Obter as duas soluções para u1:
u1=0 leva a vec u=(0,1,0)=vec j.
u1=-tfrac23 leva a vec u=(-tfrac23,tfrac13,-tfrac23).

Passo 7

Verificar orientação da base vec v,vec u,vec w calculando o determinante da matriz cujas colunas são vec v,vec u,vec w para cada vec u. Em ambos os casos o determinante vale -2, ou seja, base negativa.

Resposta

As soluções são
vec u=vec j=(0,1,0) e
vec u=(-tfrac23,tfrac13,-tfrac23).
Para nenhum deles a base vec i+vec j+vec k,,vec u,,vec i-vec k é positiva (o determinante é negativo).

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