Encontre todos os vetores de norma 1 tais que . Para qual deles a base é positiva?
Passo 1
Resume do enunciado: a gente quer achar todos os vetores unitários que satisfazem . O conteúdo aqui é produto vetorial e orientação de base (determinante).
Passo 2
Escrever o produto vetorial em coordenadas. Seja , e . O produto dá
Passo 3
Extrair o sistema de equações:
Passo 4
Resolver o sistema em função de u1. Da segunda equação u3=u1. Da terceira u2=u1+1. E a primeira se verifica automaticamente.
Obter as duas soluções para u1: u1=0 leva a vec u=(0,1,0)=vec j. u1=-tfrac23 leva a vec u=(-tfrac23,tfrac13,-tfrac23).
Passo 7
Verificar orientação da base vec v,vec u,vec w calculando o determinante da matriz cujas colunas são vec v,vec u,vec w para cada vec u. Em ambos os casos o determinante vale -2, ou seja, base negativa.
Resposta
As soluções são vec u=vec j=(0,1,0) e vec u=(-tfrac23,tfrac13,-tfrac23).
Para nenhum deles a base vec i+vec j+vec k,,vec u,,vec i-vec k é positiva (o determinante é negativo).