Encontre todos os zeros para as funções polinomiais a seguir:
(a) 2 x^3-5 x^2-2 x+2;
(b) x^4+2 x^3-2 x^2-6 x-3.
(c) x^4-x^3-3 x^2+17 x-30.
(d) x^5+5 x^3+6 x;
(e) 3 x^5-2 x^4-9 x^3+6 x^2-12 x+8

Passo 1

O enunciado pede todos os zeros de cinco polinômios. O conteúdo utilizado será o Teorema das Raízes Racionais para testar raízes possíveis, divisão sintética ou fatoração de polinômios e, quando surgir uma quadrática, a fórmula de Bhaskara para obter raízes reais ou complexas.

Passo 2

Para f(x)=2x^3-5x^2-2x+2 os candidatos segundo o Teorema das Raízes Racionais são pm1,pm2,pmtfrac12. Testando x=tfrac12 obtemos
fl(tfrac12r) =2l(tfrac18r)-5l(tfrac14r)-2l(tfrac12r)+2 =0,
logo x=tfrac12 é raiz. Dividindo sinteticamente por x-tfrac12 fica
2x^3-5x^2-2x+2=(x-tfrac12)(2x^2-4x-4) =(x-tfrac12)cdot2(x^2-2x-2)
Resolvendo x^2-2x-2=0 pela fórmula de Bhaskara,
x=2pmraiz4+82=1pmraiz3

Passo 3

Para g(x)=x^4+2x^3-2x^2-6x-3 os candidatos são pm1,pm3. Testando x=-1
g(-1)=1-2-2+6-3=0,
então x=-1 é raiz. Dividindo por x+1 surge o cúbico
x^3+x^2-3x-3,
que também se anula em x=-1. Fatorando de novo por x+1 obtemos
(x+1)^2(x^2-3)=0
Daí x^2-3=0 x=pmraiz3.

Passo 4

Para h(x)=x^4-x^3-3x^2+17x-30 testamos candidatos pm1,pm2,pm3,pm5,dots e achamos h(-3)=0. Dividindo por x+3 sobra
x^3-4x^2+9x-10,
que anula em x=2. Dividindo por x-2 fica x^2-2x+5, cujas raízes são
x=2pmraiz4-202=1pm2,i

Passo 5

Para k(x)=x^5+5x^3+6x basta fatorar x e reconhecer um quadrático em x^2:
x^5+5x^3+6x =xl(x^4+5x^2+6r) =x(x^2+2)(x^2+3)
Então as raízes são x=0, x^2=-2Rightarrow x=pm iraiz2 e x^2=-3Rightarrow x=pm iraiz3.

Passo 6

Para
p(x)=3x^5-2x^4-9x^3+6x^2-12x+8
os candidatos são pm1,pm2,pm4,pm8,pmtfrac13,pmtfrac23,dots. Testando x=2 e x=-2 achamos raízes. Após duas divisões sintéticas surge o polinômio cúbico
3x^3-2x^2+3x-2,
que se anula em x=tfrac23. Dividindo por x-tfrac23 sobra 3(x^2+1), cujas raízes são pm i.

Resposta

(a) x=tfrac12,;1+raiz3,;1-raiz3
(b) x=-1 (multiplicidade 2),; x=raiz3,;x=-raiz3
(c) x=-3,;x=2,;x=1+2,i,;x=1-2,i
(d) x=0,;pm iraiz2,;pm iraiz3
(e) x=2,;x=-2,;x=tfrac23,;x=i,;x=-i

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