Soma de uma série alternada e uma série fatorada:
sumn=1^infty(-1)^n 1n^0.8+sumn=1^infty nn^2+1
A soma converge absolutamente, condicionalmente ou diverge?

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da soma das duas séries
sumn=1^infty(-1)^n1n^0.8 e sumn=1^inftynn^2+1
Isso envolve aplicar o teste da série alternada (Leibniz), testes de p-séries e comparação assintótica.

Passo 2

Analisando
sumn=1^infty(-1)^n1n^0.8,
temos um termo geral an =(-1)^n n^-0.8. Note que n^-0.8 é decrescente para n>=1 e limntoinftyn^-0.8=0. Pelo critério de Leibniz, essa série converge. Entretanto, para convergência absoluta, consideraríamos
sumn=1^inftyl|(-1)^n n^-0.8r| =sumn=1^infty1n^0.8,
que é uma p-série com p=0.8<1 e diverge. Logo, a primeira converge condicionalmente.

Passo 3

Agora considere
sumn=1^inftynn^2+1
Para n grande temos nn^2+1simnn^2=1n. Pelo teste da comparação limite,
limntoinftynn^2+11n =limntoinftyn^2n^2+1=1,
e como sum1/n diverge, segue que sum n/(n^2+1) também diverge.

Passo 4

Como a segunda série diverge e a soma de uma série convergente com uma divergente é divergente, concluímos que a soma total não converge nem condicionalmente nem absolutamente.

Resposta

A soma diverge.

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