A soma converge absolutamente, condicionalmente ou diverge?
Passo 1
O enunciado pede para classificar a convergência da soma das duas séries
Isso envolve aplicar o teste da série alternada (Leibniz), testes de -séries e comparação assintótica.
Passo 2
Analisando
temos um termo geral . Note que é decrescente para e . Pelo critério de Leibniz, essa série converge. Entretanto, para convergência absoluta, consideraríamos
que é uma p-série com p=0.8<1 e diverge. Logo, a primeira converge condicionalmente.
Passo 3
Agora considere
sumn=1^inftynn^2+1
Para n grande temos nn^2+1simnn^2=1n. Pelo teste da comparação limite,
limntoinftynn^2+11n =limntoinftyn^2n^2+1=1,
e como sum1/n diverge, segue que sum n/(n^2+1) também diverge.
Passo 4
Como a segunda série diverge e a soma de uma série convergente com uma divergente é divergente, concluímos que a soma total não converge nem condicionalmente nem absolutamente.