(2,5) Encontre o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y)=1x^2+y^2 i+2x^2+y^2 j
em uma partícula que se move sobre o arco do círculo x^2+y^2=4 de (2,0) a (0,2) no sentido anti-horário.

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar o trabalho realizado por um campo de força específico quando uma partícula se move ao longo de um arco de círculo. Vamos precisar usar conceitos de trabalho de um campo de força e cálculo de integrais de linha. Basicamente, vamos calcular como a força atua ao longo do caminho que a partícula percorre.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho no contexto de um campo de força. O trabalho realizado por uma força F ao mover uma partícula ao longo de um caminho C é dado pela integral de linha:
W = integralC F cdot dr
Aqui, F é o campo de força, e dr é um elemento infinitesimal do caminho.

Passo 3

Nosso campo de força é:
F(x, y) = 1x^2 + y^2 i + 2x^2 + y^2 j
E o caminho C é o arco do círculo x^2 + y^2 = 4 indo de (2, 0) a (0, 2) no sentido anti-horário.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos parametrizar o caminho C usando coordenadas polares. Sabemos que no círculo x^2 + y^2 = 4, o raio r é 2. Então, podemos expressar x e y em termos do ângulo theta:
x = 2costheta y = 2sintheta
Quando theta = 0, temos o ponto (2, 0), e quando theta = pi2, chegamos em (0, 2). Então, nosso intervalo para theta será de 0 a pi2.

Passo 5

Agora, vamos encontrar dr. Derivando x e y em relação a theta:
dx = -2sintheta , dtheta dy = 2costheta , dtheta
Portanto:
dr = dx , i + dy , j = (-2sintheta , i + 2costheta , j) , dtheta

Passo 6

Vamos substituir x e y na expressão do campo de força:
F(x, y) = 1(2costheta)^2 + (2sintheta)^2 i + 2(2costheta)^2 + (2sintheta)^2 j
Calculando o denominador:
(2costheta)^2 + (2sintheta)^2 = 4cos^2theta + 4sin^2theta = 4(cos^2theta + sin^2theta) = 4
Então:
F(x, y) = 14 i + 24 j = 14 i + 12 j

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = ( 14 i + 12 j ) cdot ( -2sintheta , i + 2costheta , j )
Calculando:
F cdot dr = 14 cdot (-2sintheta) + 12 cdot 2costheta = -12sintheta + costheta

Passo 8

Agora, integramos F cdot dr de theta = 0 a theta = pi2:
W = integral0^pi2 ( -12sintheta + costheta ) dtheta
Vamos integrar termo a termo:
integral ( -12sintheta ) dtheta = 12costheta integral costheta , dtheta = sintheta
Então:
W = [ 12costheta + sintheta ]0^pi2

Passo 9

Vamos calcular nos limites:
Para theta = pi2:
12cos(pi2) + sin(pi2) = 12 cdot 0 + 1 = 1
Para theta = 0:
12cos(0) + sin(0) = 12 cdot 1 + 0 = 12
Subtraindo:
W = 1 - 12 = 12

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é 12 unidades de trabalho.

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