Encontre o trabalho realizado pelo campo de força
em uma partícula que se move sobre o arco do círculo
de
a
no sentido anti-horário.
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar o trabalho realizado por um campo de força específico quando uma partícula se move ao longo de um arco de círculo. Vamos precisar usar conceitos de trabalho de um campo de força e cálculo de integrais de linha. Basicamente, vamos calcular como a força atua ao longo do caminho que a partícula percorre.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho no contexto de um campo de força. O trabalho realizado por uma força
ao mover uma partícula ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o campo de força, e
é um elemento infinitesimal do caminho.
Passo 3
Nosso campo de força é:
E o caminho
é o arco do círculo
indo de
a
no sentido anti-horário.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos parametrizar o caminho
usando coordenadas polares. Sabemos que no círculo
, o raio
é 2. Então, podemos expressar
e
em termos do ângulo
:
Quando
, temos o ponto
, e quando
, chegamos em
. Então, nosso intervalo para
será de
a
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Derivando
e
em relação a
:
Portanto:
Passo 6
Vamos substituir
e
na expressão do campo de força:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Calculando:
Passo 8
Agora, integramos
de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 9
Vamos calcular nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.