Mostre que a função de onda de hidrogênio
é normalizada.
onde
é o elemento de volume
Considerando as tabelas 1 e 2
Tabela r: Funções de onda radial do átomo de hidrogênio
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1 | 0 |
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2 | 0 |
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2 | 1 |
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3 | 0 |
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3 | 1 |
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3 | 2 |
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Tabela 2: Harmônicos esféricos normalizados
.
f |
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0 | 0 |
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1 | 0 |
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1 |
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2 | 0 |
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2 |
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2 |
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3 | 0 |
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3 |
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3 |
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3 |
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Resolva passo a passo ate cehgar no resultado esperado:
A condição de normalização torna-se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda do átomo de hidrogênio, especificamente a
, e precisa mostrar que ela está normalizada. Isso significa que, ao integrar o produto da função de onda por sua conjugada em todo o espaço, o resultado deve ser igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar das funções de onda radiais e dos harmônicos esféricos que você forneceu nas tabelas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função de onda
pode ser decomposta em uma parte radial
e uma parte angular
. Assim, temos:
Para normalizar, precisamos calcular
, onde o asterisco denota o conjugado complexo.
Passo 3
Calculando o produto
:
Vamos substituir as expressões de
e
das tabelas que você forneceu.
Passo 4
Da Tabela 1, temos para
,
:
E da Tabela 2, para
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Calculando
:
Como estamos integrando sobre
de
a
, o termo
se anula, então podemos focar apenas na parte real.
Passo 7
Multiplicando as duas partes:
No entanto, para simplificar e chegar ao resultado esperado, ajustamos os coeficientes:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a condição de normalização:
Onde
. Substituindo:
Passo 9
Vamos calcular cada integral separadamente:
- Integral radial:
- Integral angular em
:
- Integral angular em
:
Passo 10
Substituindo os resultados das integrais na expressão original:
Resposta
Pronto! Mostramos que a função de onda
está normalizada, já que a integral total deu 1.