A função
é harmônica? Caso positivo, escreve uma função analítica
de maneira que a função
seja a parte imaginária.
Passo 1
Vamos analisar a função $ v(x, y) = -e^{y} \cos x $. O objetivo é verificar se essa função é harmônica e, se for, encontrar uma função analítica $ f(z) $ onde $ v(x, y) $ seja a parte imaginária. Para isso, vamos usar conceitos de funções harmônicas e funções analíticas na matemática.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber se $ v(x, y) $ é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Vamos calcular as segundas derivadas parciais de $ v $:
Agora, somamos essas segundas derivadas:
Como a soma é zero, concluímos que $ v(x, y) $ é uma função harmônica.
Passo 3
Agora que sabemos que $ v(x, y) $ é harmônica, vamos encontrar uma função analítica $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $ onde $ u(x, y) $ é a parte real. Para que $ f(z) $ seja analítica, $ u $ e $ v $ devem satisfazer as equações de Cauchy-Riemann:
Sabemos que:
Então, substituindo:
Integrando $ \frac{\partial u}{\partial x} $ em relação a $ x $:
Derivando $ u(x, y) $ em relação a $ y $:
Comparando com $ \frac{\partial u}{\partial y} = -e^{y} \sin x $, temos que $ h’(y) = 0 $, ou seja, $ h(y) $ é uma constante que podemos considerar zero.
Portanto:
Resposta
Sim, a função $ v(x, y) = -e^{y} \cos x $ é harmônica. Uma função analítica que possui $ v(x, y) $ como parte imaginária é:
onde $ z = x + i y $.