A função v(x, y)=-e^y cos x é harmônica? Caso positivo, escreve uma função analítica f(z) de maneira que a função v(x, y) seja a parte imaginária.

Passo 1

Vamos analisar a função $ v(x, y) = -e^{y} \cos x $. O objetivo é verificar se essa função é harmônica e, se for, encontrar uma função analítica $ f(z) $ onde $ v(x, y) $ seja a parte imaginária. Para isso, vamos usar conceitos de funções harmônicas e funções analíticas na matemática.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber se $ v(x, y) $ é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
v(x, y)
Vamos calcular as segundas derivadas parciais de $ v $:
partial^2 vpartial x^2 + partial^2 vpartial y^2 = 0
v
partial vpartial x = e^y sin x
partial^2 vpartial x^2 = e^y cos x
Agora, somamos essas segundas derivadas:
partial vpartial y = -e^y cos x
Como a soma é zero, concluímos que $ v(x, y) $ é uma função harmônica.

Passo 3

Agora que sabemos que $ v(x, y) $ é harmônica, vamos encontrar uma função analítica $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $ onde $ u(x, y) $ é a parte real. Para que $ f(z) $ seja analítica, $ u $ e $ v $ devem satisfazer as equações de Cauchy-Riemann:
v(x, y)
f(z) = u(x, y) + i v(x, y)
Sabemos que:
u(x, y)
f(z)
Então, substituindo:
u
v
Integrando $ \frac{\partial u}{\partial x} $ em relação a $ x $:
partial upartial x = partial vpartial y
Derivando $ u(x, y) $ em relação a $ y $:
partial upartial y = -partial vpartial x
Comparando com $ \frac{\partial u}{\partial y} = -e^{y} \sin x $, temos que $ h’(y) = 0 $, ou seja, $ h(y) $ é uma constante que podemos considerar zero.
Portanto:
partial vpartial y = -e^y cos x

Resposta

Sim, a função $ v(x, y) = -e^{y} \cos x $ é harmônica. Uma função analítica que possui $ v(x, y) $ como parte imaginária é:
v(x, y) = -e^y cos x
onde $ z = x + i y $.

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