Encontre o trabalho realizado por
sobre a curva
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o trabalho realizado por um campo de força dado pela função vetorial
ao longo de uma curva específica
quando
varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha, que nos ajuda a calcular o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o trabalho realizado por
ao longo da curva
. A fórmula geral para o trabalho
é dada por:
Aqui,
é a curva ao longo da qual o trabalho está sendo calculado,
é o campo de força, e
é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
. Sabemos que:
Para calcular
, que é a derivada de
em relação a
, fazemos:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos expressar o campo de força
em termos de
, substituindo as componentes de
na função
:
Simplificando cada componente:
Passo 5
Com
e
expressos em termos de
, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
até
para encontrar o trabalho
:
Calculando a integral termo a termo:
Simplificando:
Convertendo para denominadores comuns (60):
Resposta
O trabalho realizado por
ao longo da curva é
.