Encontre o trabalho realizado por F = (y - x^2) i + (z - y^2) j + (x - z^2) k sobre a curva vec{r}(t) = t vec{i} + t^2 vec{j} + t^3 vec{k}, 0 <= t <= 1 de (0, 0, 0) a (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o trabalho realizado por um campo de força dado pela função vetorial ao longo de uma curva específica quando varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha, que nos ajuda a calcular o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o trabalho realizado por ao longo da curva . A fórmula geral para o trabalho é dada por:
Aqui, é a curva ao longo da qual o trabalho está sendo calculado, é o campo de força, e é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva . Sabemos que:
Para calcular , que é a derivada de em relação a , fazemos:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos expressar o campo de força em termos de , substituindo as componentes de na função :
Simplificando cada componente:

Passo 5

Com e expressos em termos de , vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de até para encontrar o trabalho :
Calculando a integral termo a termo:
Simplificando:
Convertendo para denominadores comuns (60):

Resposta

O trabalho realizado por ao longo da curva é .

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