Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathrm{F}=\left[1 /\left(x^{2}+1\right)\right] \mathrm{j}
(a) O segmento de reta C_{1}: \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
da força \mathbf{F}=\frac{1}{x^{2}+1}\,\mathbf{j} ao levar uma partícula de (0,0,0) a (1,1,1) ao longo do segmento de reta
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k},\quad 0\le t\le1.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, que usamos parametrização e a definição
W=\int_{t=0}^{1}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Parametrização:
x(t)=t,\quad y(t)=t,\quad z(t)=t,
portanto
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}(t,t,t)=(1,1,1).

Passo 3

Avaliaremos \mathbf{F} ao longo de \mathbf{r}(t): como \mathbf{F}=(0,\tfrac1{x^{2}+1},0), temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\Bigl(0,\frac{1}{t^{2}+1},0\Bigr).
O produto escalar
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =0\cdot1+\frac{1}{t^{2}+1}\cdot1+0\cdot1 =\frac{1}{t^{2}+1}.

Passo 4

O trabalho é
W=\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt =\bigl[\arctan(t)\bigr]_{0}^{1} =\arctan(1)-\arctan(0) =\frac{\pi}{4}.

Resposta

W=\frac{\pi}{4}.

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