a) (1.0 pt.) Esboce o sólido
b) (1.0 pt.) Expressar
em coordenadas esféricas
c) (1.0 pt.) Calcule
c) (1.0 pt.) Calcule
Passo 1
O enunciado define o sólido
Aqui o que aparece é a interseção de três regiões:
- Fora da esfera de raio 1 centrada na origem,
- Dentro da esfera de raio 2 centrada em
, - Acima do cone
.
O que vamos precisar: esboçar essas três superfícies, passar para coordenadas esféricas e calcular o volume por integração.
Passo 2
Descrevendo cada fronteira em coordenadas esféricas
com
onde
é o ângulo a partir do eixo
.
- A esfera
vira . - A esfera
expande-se para - O cone
dá
e a condição
significa
.
Passo 3
Juntando tudo, em esféricas o sólido
é
pois exigimos
(fora da esfera menor) e
(dentro da esfera centrada em
), e
(acima do cone).
Passo 4
O volume é
Primeiro a integral em
:
Logo
Fazendo
,
, quando
temos
e
dá
. Então
Calculando
e avaliando de
até
:
Portanto