a) (1.0 pt.) Esboce o sólido W
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 1, x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2} \leq 4, z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}
b) (1.0 pt.) Expressar W em coordenadas esféricas
c) (1.0 pt.) Calcule
I=\iiint_{W} 1 d V

Passo 1

O enunciado define o sólido
W=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge1,\;x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}\le4,\;z\ge\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr\}.
Aqui o que aparece é a interseção de três regiões:
  1. Fora da esfera de raio 1 centrada na origem,
  2. Dentro da esfera de raio 2 centrada em (0,0,2),
  3. Acima do cone z=\sqrt{x^2+y^2}.
    O que vamos precisar: esboçar essas três superfícies, passar para coordenadas esféricas e calcular o volume por integração.

Passo 2

Descrevendo cada fronteira em coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi) com
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo a partir do eixo z.
  1. A esfera x^2+y^2+z^2=1 vira \rho=1.
  2. A esfera x^2+y^2+(z-2)^2=4 expande-se para \rho^2-4\rho\cos\varphi+4=4 \;\Longrightarrow\; \rho^2=4\rho\cos\varphi \;\Longrightarrow\; \rho=4\cos\varphi\quad(\rho>0).
  3. O cone z=\sqrt{x^2+y^2} \rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi \;\Longrightarrow\; \tan\varphi=1 \;\Longrightarrow\; \varphi=\frac\pi4,
e a condição z\ge\sqrt{x^2+y^2} significa \varphi\in[0,\pi/4].

Passo 3

Juntando tudo, em esféricas o sólido W é
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi4, \quad 1\le\rho\le4\cos\varphi,
pois exigimos \rho\ge1 (fora da esfera menor) e \rho\le4\cos\varphi (dentro da esfera centrada em (0,0,2)), e \varphi\le\pi/4 (acima do cone).

Passo 4

O volume é
I=\iiint_{W}1\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\!\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\!\!\int_{\rho=1}^{4\cos\varphi} \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Primeiro a integral em \rho:
\int_{1}^{4\cos\varphi}\rho^2\,d\rho =\left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{1}^{4\cos\varphi} =\frac{(4\cos\varphi)^3-1}{3} =\frac{64\cos^3\varphi-1}{3}.
Logo
I =2\pi\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\;\frac{64\cos^3\varphi-1}{3}\,d\varphi =\frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\pi/4}(64\cos^3\varphi-1)\sin\varphi\,d\varphi.
Fazendo u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, quando \varphi=0 temos u=1 e \varphi=\pi/4 u=\tfrac{\sqrt2}2. Então
\int_{0}^{\pi/4}(64u^3-1)\sin\varphi\,d\varphi =\int_{u=1}^{\sqrt2/2}(64u^3-1)(-du) =\int_{\sqrt2/2}^{1}(64u^3-1)\,du.
Calculando
\int(64u^3-1)\,du =16u^4-u,
e avaliando de u=\tfrac{\sqrt2}2 até 1:
\bigl(16\cdot1^4-1\bigr)-\!\Bigl(16\bigl(\tfrac{\sqrt2}2\bigr)^4-\tfrac{\sqrt2}2\Bigr) =(16-1)-\bigl(16\cdot\tfrac14-\tfrac{\sqrt2}2\bigr) =15-\bigl(4-\tfrac{\sqrt2}2\bigr) =11+\tfrac{\sqrt2}2.
Portanto
I =\frac{2\pi}{3}\Bigl(11+\tfrac{\sqrt2}2\Bigr) =\frac{2\pi\cdot11}{3}+\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{22\pi}{3}+\frac{\pi\sqrt2}{3}.

Resposta

I=\frac{22\pi}{3}+\frac{\pi\sqrt2}{3}.

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