Questão ( 4,0 pontos): Dada a função
a) Determine
.
b) Determine a equação do plano tangente à superficie
no ponto
.
c) Determine o gradiente de
no ponto
d) Determine a taxa de variação de
na direção
.
e) Determine os valores máximos, mínimos e pontos de sela de
.
a) Determine
b) Determine a equação do plano tangente à superficie
c) Determine o gradiente de
d) Determine a taxa de variação de
e) Determine os valores máximos, mínimos e pontos de sela de
Passo 1
O enunciado trata da função
e pede:
a) todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem;
b) equação do plano tangente em ;
c) gradiente em ;
d) taxa de variação em na direção
;
e) pontos críticos e classificação (máximos, mínimos, sela).
Vamos usar regras de derivação de exponencial, a definição de plano tangente e de derivada direcional, e o critério da Hessiana para classificar pontos críticos.
a) todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem;
b) equação do plano tangente em
c) gradiente em
d) taxa de variação em
e) pontos críticos e classificação (máximos, mínimos, sela).
Vamos usar regras de derivação de exponencial, a definição de plano tangente e de derivada direcional, e o critério da Hessiana para classificar pontos críticos.
Passo 2
Calculamos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Como
pela regra da cadeia:
Passo 3
Agora as segundas derivadas.
Para :
Para
Para
:
Como a função é
, vale
.
Finalmente,
Finalmente,
Passo 4
Para a equação do plano tangente em
usamos
Calculando
Logo
Passo 5
O gradiente em
é
Passo 6
Para a taxa de variação na direção
a derivada direcional é
onde
e
. Então
Passo 7
Procuramos pontos críticos resolvendo
:
Só há o ponto crítico
. Para classificá-lo, avaliamos a Hessiana:
O discriminante é
com
, logo temos um máximo local em
. Como
quando
e
é o maior valor, é um máximo global. Não há mínimos nem pontos de sela.
Resposta
a)
b) Plano tangente em
:
c)
d)
e) Há um único ponto crítico
, que é um máximo global de valor
. Não há mínimos nem pontos de sela.