4^{n} Questão ( 4,0 pontos): Dada a função f(x, y)=e^{4 y-x^{2}-y^{2}}
a) Determine f_{x}(x, y), f_{y}(x, y), f_{x x}(x, y), f_{x y}(x, y), f_{y y}(x, y), f_{y x}(x, y).
b) Determine a equação do plano tangente à superficie z=f(x, y) no ponto (1,0).
c) Determine o gradiente de f(x, y) no ponto (1,0)
d) Determine a taxa de variação de f(x, y) \mathrm{em} P=(1,0) na direção v=(1,2).
e) Determine os valores máximos, mínimos e pontos de sela de f(x, y).

Passo 1

O enunciado trata da função
f(x,y)=e^{4y - x^2 - y^2}
e pede:
a) todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem;
b) equação do plano tangente em (1,0);
c) gradiente em (1,0);
d) taxa de variação em (1,0) na direção v=(1,2);
e) pontos críticos e classificação (máximos, mínimos, sela).
Vamos usar regras de derivação de exponencial, a definição de plano tangente e de derivada direcional, e o critério da Hessiana para classificar pontos críticos.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Como
f(x,y)=e^{4y - x^2 - y^2},
pela regra da cadeia:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(4y - x^2 - y^2)\,e^{4y - x^2 - y^2} = (-2x)\,e^{4y - x^2 - y^2},
f_y = \frac{\partial}{\partial y}(4y - x^2 - y^2)\,e^{4y - x^2 - y^2} = (4 - 2y)\,e^{4y - x^2 - y^2}.

Passo 3

Agora as segundas derivadas.
Para f_{xx}:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x\,e^{4y - x^2 - y^2}\bigr) = -2\,e^{4y - x^2 - y^2} + (-2x)(-2x)\,e^{4y - x^2 - y^2} = \bigl(-2 + 4x^2\bigr)\,e^{4y - x^2 - y^2}.
Para f_{xy}:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x\,e^{4y - x^2 - y^2}\bigr) = -2x\,(4 - 2y)\,e^{4y - x^2 - y^2}.
Como a função é C^2, vale f_{yx}=f_{xy}.
Finalmente,
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((4 - 2y)\,e^{4y - x^2 - y^2}\bigr) = -2\,e^{4y - x^2 - y^2} + (4 - 2y)^2\,e^{4y - x^2 - y^2} = \bigl(-2 + (4 - 2y)^2\bigr)\,e^{4y - x^2 - y^2}.

Passo 4

Para a equação do plano tangente em (x_0,y_0)=(1,0) usamos
z = f(1,0) + f_x(1,0)\,(x-1) + f_y(1,0)\,(y-0).
Calculando
f(1,0)=e^{0 - 1 - 0}=e^{-1},\quad f_x(1,0)=(-2\cdot1)e^{-1}=-2e^{-1},\quad f_y(1,0)=(4 - 0)e^{-1}=4e^{-1}.
Logo
z = e^{-1} - 2e^{-1}(x-1) + 4e^{-1}\,y.

Passo 5

O gradiente em (1,0) é
\nabla f(1,0) = \bigl(f_x(1,0),\,f_y(1,0)\bigr) = \bigl(-2e^{-1},\,4e^{-1}\bigr).

Passo 6

Para a taxa de variação na direção v=(1,2) a derivada direcional é
D_{\mathbf u}f(1,0) = \nabla f(1,0)\cdot \mathbf u,
onde \mathbf u=v/\|v\| e \|v\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}. Então
\mathbf u=\Bigl(\tfrac1{\sqrt5},\,\tfrac2{\sqrt5}\Bigr),\qquad D_{\mathbf u}f(1,0) = -2e^{-1}\,\tfrac1{\sqrt5} + 4e^{-1}\,\tfrac2{\sqrt5} = \frac{(-2 + 8)e^{-1}}{\sqrt5} = \frac{6e^{-1}}{\sqrt5}.

Passo 7

Procuramos pontos críticos resolvendo \nabla f=0:
-2x\,e^{4y-x^2-y^2}=0\quad\Rightarrow\quad x=0,
(4-2y)\,e^{4y-x^2-y^2}=0\quad\Rightarrow\quad y=2.
Só há o ponto crítico (0,2). Para classificá-lo, avaliamos a Hessiana:
f_{xx}(0,2)=-2\,e^4,\quad f_{yy}(0,2)=-2\,e^4,\quad f_{xy}(0,2)=0.
O discriminante é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2e^4)(-2e^4) - 0 = 4e^8>0,
com f_{xx}(0,2)<0, logo temos um máximo local em (0,2). Como f\to0 quando \|(x,y)\|\to\infty e f(0,2)=e^4 é o maior valor, é um máximo global. Não há mínimos nem pontos de sela.

Resposta

a)
f_x = -2x\,e^{4y - x^2 - y^2},\quad f_y = (4 - 2y)\,e^{4y - x^2 - y^2},
f_{xx} = \bigl(-2 + 4x^2\bigr)\,e^{4y - x^2 - y^2},\quad f_{xy}=f_{yx} = -2x(4 - 2y)\,e^{4y - x^2 - y^2},\quad f_{yy} = \bigl(-2 + (4 - 2y)^2\bigr)\,e^{4y - x^2 - y^2}.
b) Plano tangente em (1,0):
z = e^{-1} - 2e^{-1}(x-1) + 4e^{-1}y.
c)
\nabla f(1,0) = \bigl(-2e^{-1},\,4e^{-1}\bigr).
d)
D_{\mathbf u}f(1,0) = \frac{6e^{-1}}{\sqrt5}.
e) Há um único ponto crítico (0,2), que é um máximo global de valor f(0,2)=e^4. Não há mínimos nem pontos de sela.

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