Verifique que as seguintes funções não são tranformações lineares:
F: P2(R) P4(R) dada por F(p(t))=p(t)^2

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Fcolon P2(R) to P4(R), Fl(p(t)r)=l(p(t)r)^2,
e pede para mostrar que F não é transformação linear. Vamos usar a definição de linearidade e buscar um contraexemplo simples.

Passo 2

Lembrando a definição: F é linear se, para todo p,qin P2(R) e todo escalar cinR, valem
(i) F(p+q)=F(p)+F(q), (ii) F(c,p)=c,F(p)
Basta mostrar que uma dessas propriedades falha.

Passo 3

Escolhemos polinômios fáceis, por exemplo
p(t)=1, q(t)=t
Então p+q=1+t.

Passo 4

Calculamos F(p+q):
F(p+q)=F(1+t)=(1+t)^2=1+2t+t^2

Passo 5

Agora calculamos F(p)+F(q):
F(p)=F(1)=1^2=1, F(q)=F(t)=t^2,
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F(p)+F(q)=1+t^2

Passo 6

Comparando
F(p+q)=1+2t+t^2 neq 1+t^2=F(p)+F(q),
vemos que a propriedade aditiva falha. Portanto F não é linear.

Resposta

F não é transformação linear, pois não satisfaz F(p+q)=F(p)+F(q).

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