Encontre a transformação adjunta da transformação linear
dada por
. Encontre a projeção ortogonal
sobre a imagem de
em
. Mostre que
onde
é um gerador do núcleo de
Passo 1
O enunciado define
por
Precisamos achar a transformação adjunta
, depois encontrar a projeção ortogonal
sobre
e mostrar que
onde
gera
. O conteúdo envolve matrizes, adjunta (transposta em
) e projeção ortogonal.
Passo 2
Em bases canônicas, a matriz de
é
então, em
R^3 com o produto interno padrão, a adjunta é
Logo para
y=(y1,y2,y3)inR^3 vale
Passo 3
Para achar
resolvemos
Subtraindo a segunda da primeira dá
e então
. Assim
Escolhemos
como gerador.
Passo 4
Sabemos que
ou seja, o complemento ortogonal da reta gerada por
. A projeção ortogonal de
em
é então
E para a linha gerada por
temos
Resposta
onde
u=(1,-1,0) gera
ker(A^*) .