Encontre a transformação adjunta da transformação linear A: R^2 R^3 dada por A(x1, x2)=(x1+x2, x1+x2, x1-x2). Encontre a projeção ortogonal P sobre a imagem de A em R^3. Mostre que
P(w)=w-lang<=w, urang<=lang<=u, urang<= u
onde u in R^3 é um gerador do núcleo de A^*

Passo 1

O enunciado define A:R^2toR^3 por
A(x1,x2)=(x1+x2,;x1+x2,;x1-x2)
Precisamos achar a transformação adjunta A^*:R^3toR^2, depois encontrar a projeção ortogonal P sobre Im(A)subsetR^3 e mostrar que
P( w) = w -lang<= w, urang<=lang<= u, urang<=, u,
onde u gera ker(A^*). O conteúdo envolve matrizes, adjunta (transposta em R) e projeção ortogonal.

Passo 2

Em bases canônicas, a matriz de A é
A= 1&1 1&1 1&-1 ,
então, em R^3 com o produto interno padrão, a adjunta é
A^=A^T=1&1&11&1&-1
Logo para y=(y1,y2,y3)inR^3 vale
A^*( y) =(y1+y2+y3,;y1+y2-y3)inR^2

Passo 3

Para achar resolvemos
Subtraindo a segunda da primeira dá e então . Assim
Escolhemos como gerador.

Passo 4

Sabemos que
ou seja, o complemento ortogonal da reta gerada por . A projeção ortogonal de em é então
E para a linha gerada por temos

Resposta

P( w) = w -lang<= w, urang<=lang<= u, urang<=, u,
onde u=(1,-1,0) gera ker(A^*).

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