Encontre a transformação adjunta da transformação linear A: R^2 R^3 dada por A(x1, x2)=(x1+x2, x1+x2, x1-x2). Determine a imagem e o núcleo de A e de A^*. Verifique as relações de ortogonalidade.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Acolon R^2toR^3 definida por
A(x1,x2) = (,x1 + x2,;x1 + x2,;x1 - x2,)
Pede-se a adjunta A^* relativa aos produtos internos usuais, e em seguida determinar Im(A), ker(A), Im(A^*), ker(A^*) e verificar as relações de ortogonalidade entre esses subespaços.

Passo 2

Em bases canônicas, A tem matriz
M = 1 & 1 1 & 1 1 &-1 ,
de modo que a adjunta A^*colon R^3toR^2 tem matriz
M^T = 1 & 1 & 1 1 & 1 &-1
Logo, para (y1,y2,y3)inR^3
A^*(y1,y2,y3) =l(y1+y2+y3,;y1+y2-y3r)

Passo 3

Para usamos as colunas de :
Logo
que é o plano em .
Para resolvemos
que só admite solução trivial . Assim

Passo 4

Para usamos as colunas de :
Destas, e são independentes, então
Para resolvemos
Somando as duas equações vem , e então . Logo

Passo 5

Verificamos agora as ortogonalidades:
  1. Se v=(a,a,b)inIm(A) e w=(t,-t,0)inker(A^*), então
vcdot w =acdot t + acdot(-t) + bcdot0 =0,
logo Im(A)perpker(A^*), ou seja Im(A)=(ker(A^*))^perp.
2. Como ker(A)=0, o seu ortogonal é todo R^2, que coincide com Im(A^*). Assim Im(A^*)=(ker(A))^perp.

Resposta

A adjunta é
, .
, .
E de fato e .

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