Encontre a transformação adjunta da transformação linear dada por . Determine a imagem e o núcleo de e de . Verifique as relações de ortogonalidade.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear definida por
Pede-se a adjunta relativa aos produtos internos usuais, e em seguida determinar , , , e verificar as relações de ortogonalidade entre esses subespaços.
Passo 2
Em bases canônicas, tem matriz
de modo que a adjunta A^*colon R^3toR^2 tem matriz
M^T = 1 & 1 & 1 1 & 1 &-1
Logo, para (y1,y2,y3)inR^3
A^*(y1,y2,y3) =l(y1+y2+y3,;y1+y2-y3r)
Passo 3
Para usamos as colunas de :
Logo
que é o plano em .
Para resolvemos
que só admite solução trivial . Assim
Passo 4
Para usamos as colunas de :
Destas, e são independentes, então
Para resolvemos
Somando as duas equações vem , e então . Logo
Passo 5
Verificamos agora as ortogonalidades:
Se v=(a,a,b)inIm(A) e w=(t,-t,0)inker(A^*), então
vcdot w =acdot t + acdot(-t) + bcdot0 =0,
logo Im(A)perpker(A^*), ou seja Im(A)=(ker(A^*))^perp.
2. Como ker(A)=0, o seu ortogonal é todo R^2, que coincide com Im(A^*). Assim Im(A^*)=(ker(A))^perp.