Encontre a transformação adjunta da transformação linear A: R^2 R^3 dada por A(x1, x2)=(x1+x2, x1+x2, x1-x2). Encontre uma base ortonormal u1, u2 para a imagem de A. Mostre que
P(w)=lang<=w, u1rang<=lang<=u1, u1rang<= u1+lang<=w, u2rang<=lang<=u2, u2rang<= u2

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a transformação adjunta A^* de
Acolon R^2toR^3, A(x1,x2)=(x1+x2,;x1+x2,;x1-x2),
(b) uma base ortonormal u1,u2 de Im(A), e (c) mostrar que a projeção ortogonal P em Im(A) fica
P(w)=lang<= w,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=u1+lang<= w,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=u2
Para isso usamos: definição de adjunta A^* via lang<= Ax,yrang<==lang<= x,A^*yrang<=, e Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais em Im(A).

Passo 2

Primeiro escrevemos A como matriz 3times 2 na base canônica:
A = 1 & 1 [6pt] 1 & 1 [6pt] 1 & -1
Sob o produto interno padrão, a adjunta é dada por
A^T = 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1
Logo, para (y1,y2,y3)inR^3,
A^*(y1,y2,y3) = l(y1+y2+y3,;y1+y2-y3r) ]

Passo 3

A imagem de A é o espaço gerado pelos vetores coluna
v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,-1)
Aplicamos Gram–Schmidt:
1. Normalizamos v1:
u1 = v1|v1| = 1raiz3,(1,1,1)
2. Projetamos v2 em u1 e subtraímos:
proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=,u1 = 1+1-1raiz3,u1 = 1raiz3,u1,

Passo 4

O enunciado pede três coisas sobre
AcolonR^2toR^3, A(x1,x2)=(x1+x2,;x1+x2,;x1-x2)
1. Encontrar a adjunta A^*.
2. Encontrar uma base ortonormal u1,u2 de Im(A).
3. Mostrar que a projeção ortogonal P em Im(A) é
P(w) =lang<= w,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=u1 +lang<= w,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=u2
Usaremos definição de adjunta via lang<= Ax,yrang<==lang<= x,A^*yrang<= e o processo de Gram–Schmidt para obter u1,u2.

Passo 5

Escrevendo A como matriz 3times2 na base canônica:
A = 1 & 1 1 & 1 1 & -1
Sob o produto interno padrão, a matriz da adjunta é A^T, ou seja
A^T = 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1
Logo, para y=(y1,y2,y3)inR^3,
A^*(y) = A^T,y =l(y1+y2+y3,;y1+y2-y3r)

Resposta

Os vetores coluna de geram :
Aplicamos Gram–Schmidt:
. . Projetamos em :
. Definimos . Normalizamos:

Exercícios relacionados