Encontre a transformação adjunta da transformação linear
dada por
. Encontre uma base ortonormal
para a imagem de
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) a transformação adjunta
de
(b) uma base ortonormal
de
, e (c) mostrar que a projeção ortogonal
em
fica
Para isso usamos: definição de adjunta
via
, e Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais em
.
Passo 2
Primeiro escrevemos
como matriz
na base canônica:
Sob o produto interno padrão, a adjunta é dada por
Logo, para
(y1,y2,y3)inR^3 ,
Passo 3
A imagem de
A é o espaço gerado pelos vetores coluna
Aplicamos Gram–Schmidt:
1 . Normalizamos
v1 :
Passo 4
O enunciado pede três coisas sobre
Usaremos definição de adjunta via
lang<= Ax,yrang<==lang<= x,A^*yrang<= e o processo de Gram–Schmidt para obter
u1,u2 .
Passo 5
Escrevendo
A como matriz
3times2 na base canônica:
Sob o produto interno padrão, a matriz da adjunta é
A^T , ou seja
Logo, para
y=(y1,y2,y3)inR^3 ,
Resposta
Os vetores coluna de
geram
:
Aplicamos Gram–Schmidt:
.
. Projetamos
em
: