Seja A: R^3 R^2 a transformação linear cuja representação matricial nas bases canônicas de R^3 e de R^2 é dada por
[lll 1 & 0 & 2 1 & 1 & 4 ]
Determine a transformação adjunta A^*: R^2 R^3 de A e sua representação matricial.

Passo 1

O enunciado apresenta a transformação linear Acolon R^3toR^2 cuja matriz na base canônica é
M = 1 & 0 & 2 1 & 1 & 4
Precisamos encontrar a adjunta A^*colon R^2toR^3 e sua matriz na base canônica.

Passo 2

Por definição de adjunta, para todo xinR^3 e yinR^2 deve valer
lang<= A x,,yrang<=R^2 = lang<= x,,A^* yrang<=R^3
Usando o produto interno padrão em cada espaço, a matriz de A^* na base canônica é a transposta de M.

Passo 3

Como a matriz de A é M, a matriz de A^* é
M^T = 1 & 1 0 & 1 2 & 4

Passo 4

Portanto, explicitamente, para (y1,y2)inR^2,
A^*(y1,y2) = 1 & 1 0 & 1 2 & 4 y1 y2 = y1 + y2 y2 2y1 + 4y2

Resposta

A adjunta A^*colon R^2toR^3 é dada por
A^*(y1,y2) = l(y1 + y2,;y2,;2y1 +4y2r)
e sua matriz na base canônica é
1 & 1 0 & 1 2 & 4

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