Seja A: R^3 R^2 a transformação linear cuja representação matricial nas bases canônicas de R^3 e de R^2 é dada por
[lll 1 & 0 & 2 1 & 1 & 4 ]
Encontre bases ortonormais para ker A e Im A^*. Verifique a relação de ortogonalidade ker A perp Im A^*.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
A:R^3toR^2
cuja matriz nas bases canônicas é
A = 1 & 0 & 2 1 & 1 & 4
Pede-se uma base ortonormal de ker A e de Im A^*, lembrando que A^*:R^2toR^3 tem matriz A^T. Vamos resolver em 3 etapas: achar ker A, achar Im A^* (que é o espaço gerado pelas linhas de A) usando Gram–Schmidt e normalizar, e por fim verificar a ortogonalidade entre esses subespaços.

Passo 2

Para
Subtraindo a primeira da segunda dá obtemos . Logo
Um vetor gerador é e . A base ortonormal de é

Passo 3

Como tem colunas iguais às linhas de , temos
Aplicamos Gram–Schmidt em .
  1. , ,
  2. Projetamos sobre :EntãoSeu comprimento é Logo
Assim, uma base ortonormal de é .

Passo 4

Verificamos agora que ker A é ortogonal a Im A^*. Basta checar
e3cdot e1 =13(-2,-2,1)cdot1raiz5(1,0,2) =-2+0+23raiz5=0,
e3cdot e2 =13(-2,-2,1)cdotl(-tfrac4raiz515,tfracraiz53,tfrac2raiz515r) =0
Logo ker AperpIm A^*.

Resposta

Base ortonormal de ker A:
l,e3 = 13(-2,-2,1)r
Base ortonormal de Im A^*:
e1 = 1raiz5(1,0,2), e2 = l(-tfrac4raiz515,;tfracraiz53,;tfrac2raiz515r)
E de fato ker AperpIm A^*.

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