Seja a transformação linear cuja representação matricial nas bases canônicas de e de é dada por
Encontre bases ortonormais para ker A e Im A^*. Verifique a relação de ortogonalidade ker A perp Im A^*.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
A:R^3toR^2
cuja matriz nas bases canônicas é
A = 1 & 0 & 2 1 & 1 & 4
Pede-se uma base ortonormal de ker A e de Im A^*, lembrando que A^*:R^2toR^3 tem matriz A^T. Vamos resolver em 3 etapas: achar ker A, achar Im A^* (que é o espaço gerado pelas linhas de A) usando Gram–Schmidt e normalizar, e por fim verificar a ortogonalidade entre esses subespaços.
Passo 2
Para
Subtraindo a primeira da segunda dá obtemos . Logo
Um vetor gerador é e . A base ortonormal de é
Passo 3
Como tem colunas iguais às linhas de , temos
Aplicamos Gram–Schmidt em .
, ,
Projetamos sobre :EntãoSeu comprimento éLogo
Assim, uma base ortonormal de é .
Passo 4
Verificamos agora que ker A é ortogonal a Im A^*. Basta checar