Mostre que a transformação linear T: R^3 P2(R) dada por T(x1, x2, x3)=x1+x2 X+x3 X^2 é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to P2(R)
por
Tl(x1,x2,x3r)=x1 + x2,X + x3,X^2
Queremos mostrar que T é um isomorfismo, isto é, que é linear, injetiva e sobrejetiva. Para isso usaremos teoria de núcleo, dimensão de espaços vetoriais e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Verificamos a linearidade de T. Tomemos u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e escalar alpha. Então
T(u+v) =Tl(u1+v1,;u2+v2,;u3+v3r) =(u1+v1)+(u2+v2)X+(u3+v3)X^2
que se separa em
(u1+u2X+u3X^2)+(v1+v2X+v3X^2) =T(u)+T(v)
De modo análogo,
T(alpha,u) =T(alpha u1,alpha u2,alpha u3) =alpha u1+alpha u2,X+alpha u3,X^2 =alpha,T(u)
Logo, T é linear.

Passo 3

Determinamos o núcleo de T. Seja x=(x1,x2,x3)inker T. Então
T(x)=x1 + x2X + x3X^2 = 0
como polinômio identicamente nulo, o que implica
x1=0, x2=0, x3=0
Logo ker T=(0,0,0), de onde T é injetiva.

Passo 4

Sabemos que dim(R^3)=3 e diml(P2(R)r)=3. Pelo Teorema da Dimensão (ou Núcleo e Imagem), uma transformação linear injetiva entre espaços de mesma dimensão é sobrejetiva. Alternativamente, para qualquer polinômio genérico
p(X)=a+bX+cX^2in P2(R)
basta escolher v=(a,b,c)inR^3 e notar que
T(v)=a+bX+cX^2=p(X),
mostrando sobrejetividade direta.

Resposta

T é isomorfismo.

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