Mostre que a transformação linear
dada por
é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Queremos mostrar que
é um isomorfismo, isto é, que é linear, injetiva e sobrejetiva. Para isso usaremos teoria de núcleo, dimensão de espaços vetoriais e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Verificamos a linearidade de
. Tomemos
,
e escalar
. Então
que se separa em
De modo análogo,
Logo,
é linear.
Passo 3
Determinamos o núcleo de
. Seja
. Então
como polinômio identicamente nulo, o que implica
Logo
, de onde
é injetiva.
Passo 4
Sabemos que
e
. Pelo Teorema da Dimensão (ou Núcleo e Imagem), uma transformação linear injetiva entre espaços de mesma dimensão é sobrejetiva. Alternativamente, para qualquer polinômio genérico
basta escolher
e notar que
mostrando sobrejetividade direta.