Verifique se as aplicações dadas são Transformações Lineares. Em caso negativo, identifique qual(is) condições não são satisfeitas:
T: R^2 R^2 definida como T(x, y)=(a x+b y, c x+d y), com a, b, c e d escalares reais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (a x + b y,; c x + d y)
é uma transformação linear. Para isso precisamos checar as duas propriedades fundamentais de linearidade:
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v) para quaisquer u,vinR^2;
  2. homogeneidade: T(lambda u)=lambda T(u) para todo lambdainR e uinR^2.

Passo 2

Verificamos a aditividade para vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2).
T(u+v)=T(x1+x2,;y1+y2) =(a(x1+x2)+b(y1+y2),;c(x1+x2)+d(y1+y2))
=(ax1+ax2+by1+by2,;cx1+cx2+dy1+dy2) =(ax1+by1,;cx1+dy1)+(ax2+by2,;cx2+dy2) =T(u)+T(v)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade para lambdainR e u=(x,y).
T(lambda u)=T(lambda x,;lambda y) =(a(lambda x)+b(lambda y),;c(lambda x)+d(lambda y)) =(lambda(ax+by),;lambda(cx+dy)) =lambda,(ax+by,;cx+dy) =lambda,T(u)

Resposta

A aplicação T(x,y)=(a x+b y,;c x+d y) satisfaz as duas condições de linearidade (aditividade e homogeneidade) para quaisquer escalares a,b,c,d. Portanto, T é uma transformação linear.

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