Questão 1 Considere o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}. Calcule a dimensão de S^{\perp} quando S é dado por:
S=\operatorname{span}(\{(-1,1,0),(1,-1,0)\}).

Passo 1

O enunciado dá o subespaço S = \mathrm{span}(\{(-1,1,0),\,(1,-1,0)\}) em \mathbb{R}^3 e pede \dim(S^\perp).
Para isso, vamos usar o fato de que em \mathbb{R}^n vale
\dim(S) + \dim(S^\perp) = n,
então basta calcular \dim(S).

Passo 2

Precisamos ver se os vetores (-1,1,0) e (1,-1,0) são linearmente independentes. Note que
(1,-1,0) = -1\cdot(-1,1,0),
logo eles são dependentes. Isso significa que uma base de S tem apenas um vetor, ou seja \dim(S) = 1.

Passo 3

Aplicando a relação de dimensões para o complementar ortogonal em \mathbb{R}^3:
\dim(S) + \dim(S^\perp) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 1 + \dim(S^\perp) = 3 \quad\Longrightarrow\quad \dim(S^\perp) = 2.

Resposta

\;2

Exercícios relacionados