Encontre a transformação linear pedida:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} que DILATA todos os vetores ao triplo de seus tamanhos.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
que dilata todo vetor até o triplo de seu comprimento.
O conteúdo envolve transformações lineares e matrizes no espaço euclidiano de dimensão 3.

Passo 2

Para dilatar um vetor pela razão 3 basta multiplicá-lo por esse escalar.
Isto define a transformação
T(v)=3\,v
para todo v\in\mathbb{R}^3.

Passo 3

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3, temos
T(e_1)=3e_1=(3,0,0),\quad T(e_2)=3e_2=(0,3,0),\quad T(e_3)=3e_3=(0,0,3).

Passo 4

A matriz de T nessa base é obtida juntando as imagens de e_1,e_2,e_3 como colunas. Logo
[T] = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

A transformação linear é
T(x,y,z)=(3x,3y,3z)
e sua matriz na base canônica é
\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

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