Encontre a transformação linear pedida:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que transforma o vetor (1,0) no vetor (-1,1) e que também transforma o vetor (0,1) no vetor (-1,1);

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2
que satisfaz
T(1,0)=(-1,1) \quad\text{e}\quad T(0,1)=(-1,1).
O conteúdo aqui é usar a ideia de que uma transformação linear fica totalmente determinada pelas imagens dos vetores da base canônica.

Passo 2

Seja e_1=(1,0) e e_2=(0,1) a base canônica de \mathbb{R}^2. A matriz de T nessa base tem como colunas os vetores T(e_1) e T(e_2). Logo,
A = \begin{pmatrix} -1 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2 temos
T(x,y) = A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x - y\\[6pt]x + y\end{pmatrix}.]

Resposta

A transformação pedida é
T(x,y)=(-x - y,\;x + y),
cuja matriz na base canônica é
\begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

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