Encontre a transformação linear pedida: T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que transforma o vetor (1,0) no vetor (-1,1) e que também transforma o vetor (0,1) no vetor (-1,1);
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2
que satisfaz
T(1,0)=(-1,1) \quad\text{e}\quad T(0,1)=(-1,1).
O conteúdo aqui é usar a ideia de que uma transformação linear fica totalmente determinada pelas imagens dos vetores da base canônica.
Passo 2
Seja e_1=(1,0) e e_2=(0,1) a base canônica de \mathbb{R}^2. A matriz de T nessa base tem como colunas os vetores T(e_1) e T(e_2). Logo,
A = \begin{pmatrix} -1 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.