Verifique se a transformação entre os espaços vetoriais dados são lineares ou não.
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} onde T(x, y, z, t)=(x+t+z, y-t+z, t-x-z-y).

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z,t)=(x+t+z,\;y-t+z,\;t-x-z-y).
Queremos verificar se T é linear, isto é, se satisfaz
  1. T(\mathbf{0})=\mathbf{0},
  2. T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) para todo \mathbf{u},\mathbf{v},
  3. T(\alpha\mathbf{u})=\alpha\,T(\mathbf{u}) para todo escalar \alpha.

Passo 2

Calculemos T aplicado ao vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0,0):
T(0,0,0,0) = (0+0+0,\;0-0+0,\;0-0-0-0) = (0,0,0).
Logo T(\mathbf{0})=\mathbf{0}.

Passo 3

Verifiquemos a aditividade. Seja
\mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1,t_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2,t_2).
Então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2)
e
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) =\bigl((x_1+x_2)+(t_1+t_2)+(z_1+z_2),\;\dots\bigl)
que expande-se em
(\,(x_1+t_1+z_1)+(x_2+t_2+z_2),\;(y_1-t_1+z_1)+(y_2-t_2+z_2),\;(t_1-x_1-z_1-y_1)+(t_2-x_2-z_2-y_2)\,).
Isso é exatamente
T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}).

Passo 4

Verifiquemos a homogeneidade. Para escalar \alpha e vetor
\mathbf{u}=(x,y,z,t),
\alpha\mathbf{u}=(\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha t)
e
T(\alpha\mathbf{u}) =(\alpha x+\alpha t+\alpha z,\;\alpha y-\alpha t+\alpha z,\;\alpha t-\alpha x-\alpha z-\alpha y).
Fatorando \alpha em cada componente, obtemos
\alpha\,(x+t+z,\;y-t+z,\;t-x-z-y) =\alpha\,T(x,y,z,t).

Resposta

Sim, T é uma transformação linear.

Exercícios relacionados