Verifique se a transformação entre os espaços vetoriais dados são lineares ou não.
onde
.
Passo 1
O enunciado define
por
Queremos verificar se
é linear, isto é, se satisfaz
-
, -
para todo , -
para todo escalar .
Passo 2
Calculemos
aplicado ao vetor nulo
:
Logo
.
Passo 3
Verifiquemos a aditividade. Seja
e
.
Então
Então
e
que expande-se em
Isso é exatamente
Passo 4
Verifiquemos a homogeneidade. Para escalar
e vetor
,
e
Fatorando
em cada componente, obtemos
Resposta
Sim,
é uma transformação linear.