Encontre a transformação linear pedida:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que transforma o vetor (1,1) no vetor (0,5) e que transforma o vetor (-1,1) no vetor (5,0);

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2
tal que
T(1,1)=(0,5) \quad\text{e}\quad T(-1,1)=(5,0).
O conteúdo é Transformações Lineares e vamos usar as propriedades de linearidade e a noção de base.

Passo 2

Verificamos que os vetores
v_1 = (1,1) \quad\text{e}\quad v_2 = (-1,1)
são linearmente independentes porque
\det\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 = 2 \neq 0.
Logo \{v_1, v_2\} é uma base de \mathbb{R}^2.

Passo 3

Qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 se escreve unicamente como combinação
(x,y)=a\,v_1+b\,v_2
isto é,
a-b=x, \quad a+b=y.
Resolvendo,
a=\frac{x+y}{2}, \quad b=\frac{y-x}{2}.

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y)=T\bigl(a\,v_1+b\,v_2\bigr) =a\,T(v_1)+b\,T(v_2) =a\,(0,5)+b\,(5,0) =(5b,\,5a).
Substituindo a e b,
T(x,y) =\bigl(5\cdot\tfrac{y-x}{2},\,5\cdot\tfrac{x+y}{2}\bigr) =\Bigl(\tfrac{5(y-x)}{2},\,\tfrac{5(x+y)}{2}\Bigr).

Resposta

T(x,y)=\Bigl(\tfrac{5(y-x)}{2},\,\tfrac{5(x+y)}{2}\Bigr).

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