Verifique se a transformação entre os espaços vetoriais dados são lineares ou não.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} onde T(x, y, z)=(x, y \cos (x)-z \operatorname{sen}(x), y \operatorname{sen}(x)+z \cos (x));

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad T(x,y,z) = \bigl(x,\;y\cos(x)-z\sin(x),\;y\sin(x)+z\cos(x)\bigr).
Queremos ver se T é linear, isto é, se preserva soma de vetores e produto por escalar.

Passo 2

Lembrando a definição: uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \alpha, valem
T(u+v)=T(u)+T(v) \quad\text{e}\quad T(\alpha u)=\alpha\,T(u).

Passo 3

Vamos testar a aditividade com um contraexemplo. Seja
u=\bigl(\tfrac{\pi}{4},\,1,\,0\bigr) \quad\text{e}\quad v=\bigl(\tfrac{\pi}{4},\,0,\,1\bigr).
Então
u+v = \Bigl(\tfrac{\pi}{2},\,1,\,1\Bigr),
T(u+v) = \Bigl(\tfrac{\pi}{2},\,1\cos(\tfrac{\pi}{2})-1\sin(\tfrac{\pi}{2}),\,1\sin(\tfrac{\pi}{2})+1\cos(\tfrac{\pi}{2})\Bigr) = \Bigl(\tfrac{\pi}{2},\,0-1,\,1+0\Bigr) = \Bigl(\tfrac{\pi}{2},\,-1,\,1\Bigr).
Por outro lado,
T(u) = \Bigl(\tfrac{\pi}{4},\,1\cos(\tfrac{\pi}{4})-0\sin(\tfrac{\pi}{4}),\,1\sin(\tfrac{\pi}{4})+0\cos(\tfrac{\pi}{4})\Bigr) = \Bigl(\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr),
T(v) = \Bigl(\tfrac{\pi}{4},\,0\cos(\tfrac{\pi}{4})-1\sin(\tfrac{\pi}{4}),\,0\sin(\tfrac{\pi}{4})+1\cos(\tfrac{\pi}{4})\Bigr) = \Bigl(\tfrac{\pi}{4},\,-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr),
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T(u)+T(v) = \Bigl(\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{\pi}{2},\,0,\,\sqrt{2}\Bigr).
Vemos que
T(u+v)=\bigl(\tfrac{\pi}{2},-1,1\bigr) \neq \bigl(\tfrac{\pi}{2},0,\sqrt{2}\bigr) = T(u)+T(v),
logo a aditividade falha.

Passo 4

Como T(u+v)\neq T(u)+T(v), concluímos que T não preserva soma de vetores e, portanto, não é linear.

Resposta

A transformação T não é linear.

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