Verifique se a transformação entre os espaços vetoriais dados são lineares ou não.
onde
;
Passo 1
O enunciado define
Queremos ver se
é linear, isto é, se preserva soma de vetores e produto por escalar.
Passo 2
Lembrando a definição: uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
, valem
Passo 3
Vamos testar a aditividade com um contraexemplo. Seja
Então
Por outro lado,
logo
Vemos que
logo a aditividade falha.
Passo 4
Como
, concluímos que
não preserva soma de vetores e, portanto, não é linear.
Resposta
A transformação
não é linear.