Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
lx1+3 x2+2 x3+3 x4-7 x5=14 2 x1+6 x2+x3-2 x4+5 x5=-2 x1+3 x2-x3+2 x5=-1

Passo 1

Temos um sistema de três equações lineares com cinco incógnitas (x1,x2,x3,x4,x5). O que faremos:
  1. Montar a matriz ampliada e aplicar eliminação de Gauss até a forma escada.
  2. A partir dessa forma, identificar o posto da matriz dos coeficientes A e o posto da matriz ampliada [Amid b].
  3. Usar o Teorema de Rouché-Capelli para checar consistência e, se possível, determinar o grau de liberdade ( n-posto(A)) e a solução geral.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada e zeramos abaixo do pivô de x1 (primeira coluna) usando
R2R2-2,R1 e
R3R3-R1.
[ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 2 & 6 & 1 & -2 & 5 & -2 1 & 3 & -1 & 0 & 2 & -1 ] ;xrightarrowsubstackR2-2R1R3-R1; [ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30 0 & 0 & -3 & -3 & 9 & -15 ]

Passo 3

Agora usamos o pivô de R2 na terceira coluna para zerar abaixo:
R3R3-R2.
[ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30 0 & 0 & 0 & 5 & -10 & 15 ]
Essa é a forma escada final.

Passo 4

Da forma escada vemos três linhas não nulas, ou seja
posto(A)=3 e posto([Amid b])=3.
Como o número de incógnitas é n=5, o grau de liberdade é
n - posto(A) ;=;5 - 3 ;=;2
O sistema é consistente (posto de A igual ao posto da ampliada), logo há solução infinita com 2 parâmetros livres.

Passo 5

Para obter a solução geral, chamamos
;x2=u,;x5=v como parâmetros.
Da terceira linha:
5x4-10x5=15 Longrightarrow x4=3+2v
Da segunda linha:
-3x3-8x4+19x5=-30 Longrightarrow x3=2+v
Da primeira linha:
x1+3x2+2x3+3x4-7x5=14 Longrightarrow x1=1-3u -v
Portanto, a solução geral é
l(x1,x2,x3,x4,x5r) =l(1-3u-v,;u,;2+v,;3+2v,;vr),
com u,vinR.

Resposta

Posto de A: 3
Posto de [Amid b]: 3
Grau de liberdade: 2
Solução geral:
(x1,x2,x3,x4,x5) =(1-3u-v,;u,;2+v,;3+2v,;v), u,vinR

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