Seja B=1, t, 2 t^2-1,4 t^3-3 t uma base no espaço vetorial P3[t] (B é formado por4 primeiros polinômios de Chebychev, ferramenta importante na teoria de aproximação!). Determinar as coordenadas do polinômio p(t)=t(t+1)(t-1 / 2),(p)B=(p1, p2, p3, p4)?

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de
p(t)=t(t+1)l(t-tfrac12r)
na base
B=,1,;t,;2t^2-1,;4t^3-3t
do espaço P3[t]. O que precisamos:
– Expandir p(t) na base canônica 1,t,t^2,t^3.
– Escrever uma expressão genérica em B e igualar coeficientes para achar (p1,p2,p3,p4).

Passo 2

Expandindo
p(t)=t(t+1)l(t-tfrac12r) =(t^2+t)l(t-tfrac12r) =t^3+tfrac12,t^2-tfrac12,t
Logo, na base canônica
p(t)=1cdot t^3+tfrac12cdot t^2-tfrac12cdot t+0cdot1
Aqui a3=1, a2=tfrac12, a1=-tfrac12, a0=0.

Passo 3

Qualquer combinação em B é
p1cdot1+p2cdot t+p3,(2t^2-1)+p4,(4t^3-3t)
Reagrupando em potências de t,
l(p1-p3r) +l(p2-3p4r)t +2p3,t^2 +4p4,t^3

Passo 4

Igualando coeficientes com t^3+t^2+t+1 acima:
4p4 =1, 2p3 =tfrac12, p2-3p4 =-tfrac12, p1-p3 =0
Resolve-se diretamente:
p4=tfrac14, p3=tfrac14, p2=-tfrac12+3cdottfrac14=tfrac14, p1=p3=tfrac14

Resposta

(p)B=l(tfrac14,;tfrac14,;tfrac14,;tfrac14r)

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