Encontre a transformação linear T: R^2 R^2 que tem a seguinte característica: a imagem T(v) de cada vetor v in R^2 é obtida rotacionando v por um ângulo pi / 3, no sentido anti-horário, e, em seguida, dobrando seu comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar uma transformação linear
T: R^2to R^2
que primeiro rotaciona todo vetor em pi/3 radianos (60°) no sentido anti-horário e depois dobra o comprimento dele.
Conteúdo: transformação linear, matriz de rotação e escala.
O que vamos precisar:
  1. Saber a matriz de rotação em R^2.
  2. Entender que “dobrar o comprimento” é multiplicar tudo por 2 (escala).
  3. Combinar essas duas operações (produto de matrizes).

Passo 2

Teoria da matriz de rotação:
Para qualquer ângulo theta, a rotação de theta em R^2 é dada por
R(theta)= costheta & -sintheta sintheta & costheta
No nosso caso theta=pi/3, e a gente sabe que
cospi3=tfrac12, sinpi3=tfracraiz32
Logo
R!l(tfracpi3r) = tfrac12 & -tfracraiz32[6pt] tfracraiz32 & tfrac12
]

Passo 3

Agora dobra o comprimento: isso é multiplicar toda a transformação por 2.
Em termos de matrizes, se a gente tem uma rotação R e queremos escalar por 2, basta fazer
T(v)=2,R(v),
ou seja, a matriz de T é 2,R(pi/3).

Passo 4

Vamos calcular 2,R(pi/3):
2; tfrac12 & -tfracraiz32[4pt] tfracraiz32 & tfrac12 = 2cdottfrac12 & 2cdotl(-tfracraiz32r)[6pt] 2cdottfracraiz32 & 2cdottfrac12 = 1 & -raiz3[4pt] raiz3 & 1
]

Resposta

A transformação linear pedida, representada pela matriz em relação à base canônica, é

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