Encontre a transformação linear que tem a seguinte característica: a imagem de cada vetor é obtida rotacionando por um ângulo , no sentido anti-horário, e, em seguida, dobrando seu comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar uma transformação linear
que primeiro rotaciona todo vetor em radianos (60°) no sentido anti-horário e depois dobra o comprimento dele.
Conteúdo: transformação linear, matriz de rotação e escala.
O que vamos precisar:
Saber a matriz de rotação em .
Entender que “dobrar o comprimento” é multiplicar tudo por 2 (escala).
Combinar essas duas operações (produto de matrizes).
Passo 2
Teoria da matriz de rotação:
Para qualquer ângulo , a rotação de em é dada por
No nosso caso , e a gente sabe que
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Passo 3
Agora dobra o comprimento: isso é multiplicar toda a transformação por 2.
Em termos de matrizes, se a gente tem uma rotação R e queremos escalar por 2, basta fazer