Seja F: R^2 R^2 a transformação linear cuja matriz com relação à base B=(1,0),(1,4) é [F]B=[ll1 & 1 1 & 4]. Determine F(x, y).

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma transformação linear
F: R^2 to R^2
e, em vez de nos dar a matriz no sistema padrão, ela veio “em outra base”
B = ,b1=(1,0),;b2=(1,4)
com a matriz
[F]B ;=; 1 & 1 1 & 4
O que queremos é achar uma fórmula direta para
;F(x,y);
no nosso jeito normal de escrever vetores (x,y).
O que vamos usar:
  • Como expressar (x,y) nas coordenadas da base B.
  • Como aplicar a matriz [F]B nessas coordenadas.
  • Como voltar de coordenadas em B para um vetor (u,v) no padrão.

Passo 2

Primeiro, seja um vetor genérico
A ideia é escrever
Isso dá o sistema de equações
Da segunda linha já vem
Substituindo na primeira,
Logo as coordenadas de na base são
]

Passo 3

Agora aplicamos a matriz [F]B nessas coordenadas:
[F(v)]B = [F]B, [v]B = 1 & 11 & 4 a b = a + b a + 4b
Chama
c = a + b, d = a + 4b,
ou seja [F(v)]B = (c,d)^T.

Passo 4

Para voltar de coordenadas em B para o vetor padrão, lembramos que
F(v) = c,b1 ;+; d,b2 = c,(1,0) + d,(1,4) = (,c + d,,,4d,)
Então
F(v) = l(c + d,;4dr)

Passo 5

Basta juntar tudo. Lembrando que
a = x - y4, b = y4,
c = a+b = l(x - y4r) + y4 = x,
d = a+4b = l(x - y4r) + 4cdoty4 = x - y4 + y = x + 3y4
Então
c + d = x + l(x + tfrac3y4r) = 2x + tfrac3y4,
4d = 4l(x + tfrac3y4r) = 4x + 3y

Resposta

boxedF(x,y) ;=;l(2x + tfrac3y4;,;4x + 3yr)

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