Seja
a transformação linear cuja matriz com relação à base
é
. Determine
F(x, y) .
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma transformação linear
F: R^2 to R^2
e, em vez de nos dar a matriz no sistema padrão, ela veio “em outra base”
e, em vez de nos dar a matriz no sistema padrão, ela veio “em outra base”
com a matriz
O que queremos é achar uma fórmula direta para
;F(x,y);
no nosso jeito normal de escrever vetores(x,y) .
O que vamos usar:
no nosso jeito normal de escrever vetores
O que vamos usar:
- Como expressar
nas coordenadas da base(x,y) .B - Como aplicar a matriz
nessas coordenadas.[F]B - Como voltar de coordenadas em
para um vetorB no padrão.(u,v)
Passo 2
Primeiro, seja um vetor genérico
A ideia é escrever
Isso dá o sistema de equações
Da segunda linha já vem
Substituindo na primeira,
Logo as coordenadas de
na base
são
]
Passo 3
Agora aplicamos a matriz
[F]B nessas coordenadas:
Chama
ou seja
[F(v)]B = (c,d)^T .
Passo 4
Para voltar de coordenadas em
B para o vetor padrão, lembramos que
Então
Passo 5
Basta juntar tudo. Lembrando que
Então