Encontre uma transformação linear T: R^3 R^3 tal que
Im T=[(1,2,3),(4,0,5)]

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^3 cujo espaço-imagem seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores
,(1,2,3) e (4,0,5).
Conteúdo: construção de uma aplicação linear a partir da imagem desejada.
O que vamos usar: se escolhemos uma base canônica e1,e2,e3 de R^3, basta definir arbitrariamente
os valores de T(ei) de modo que Im T=span(1,2,3),(4,0,5) e então estender linearmente.

Passo 2

Escolhemos a base canônica
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)
Para que Im T seja span(1,2,3),(4,0,5), definimos
T(e1)=(1,2,3), T(e2)=(4,0,5), T(e3)=(0,0,0)

Passo 3

Como T é linear, para um vetor genérico (x,y,z)=x,e1+y,e2+z,e3 vale
T(x,y,z) = x,T(e1)+y,T(e2)+z,T(e3) = x,(1,2,3)+y,(4,0,5)+z,(0,0,0)
Isso dá a fórmula em coordenadas
T(x,y,z) =l(x+4y,;2x+0,y,;3x+5yr)
Note que z some — logo a imagem de T é gerada só por (1,2,3) e (4,0,5), como queríamos.

Resposta

Uma possível escolha é
T(x,y,z)=l(x+4y,;2x,;3x+5yr),
cuja imagem é exatamente span(1,2,3),(4,0,5).

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