Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função contínua (digamos suave) que satisfaça
além de ter assíntotas horizontais
O conteúdo aqui é construir uma função que combine uma curva tipo “S” (para dar as assíntotas em e ) e dois picos locais em e para atingir .
Passo 2
Uma construção explícita usa a função hiperbólica , que satisfaz
e dois “bump” gaussianos centrados em para ajustar os valores pontuais. Definimos
Passo 3
Verificação das condições: 1. Para xto-infty, temos tanh(x)to-1 e os termos gaussianos to0, logo
f(x)to1+(-1)=0
2. Para xtoinfty, temos tanh(x)to1 e os gaussianos to0, logo
f(x)to1+1=2
3. Em x=2, o gaussiano em x-2 vale 1 e o outro vale 0, então
f(2)=1+tanh(2)+l(4-(1+tanh(2))r)cdot1=4
4. Em x=-2, o gaussiano em x+2 vale 1 e o outro vale 0, então
f(-2)=1+tanh(-2)+l(-4-(1+tanh(-2))r)cdot1=-4
Passo 4
Esboçando o gráfico de f(x):
À esquerda (xll0) a curva corre rente a y=0.
Aproxima-se de (-2,-4), onde faz um “vale” acentuado e volta a subir.
Passa pelo “ombro” típico de tanh em torno de x=0.
Em x=2 faz um pico até y=4.
Para xgg0 a curva decresce suavemente e se aproxima horizontalmente de y=2.
(*Imagine uma curva em forma de S que ganha um buraco profundo em (-2,-4) e um pico em (2,4), praticamente tangenciando y=0 à esquerda e y=2 à direita.*)
Resposta
Um esboço típico de f tem:
– assíntota horizontal y=0 quando xto-infty,
– vale em (-2,-4),
– transição em forma de “S” cruzando o eixo por volta de x=0,
– pico em (2,4),
– assíntota horizontal y=2 quando xtoinfty.