Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
f(2)=4, f(-2)=-4, lim x -infty f(x)=0, lim x infty f(x)=2

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f contínua (digamos suave) que satisfaça
f(2)=4, f(-2)=-4,
além de ter assíntotas horizontais
limxto -inftyf(x)=0, limxtoinftyf(x)=2
O conteúdo aqui é construir uma função que combine uma curva tipo “S” (para dar as assíntotas em 0 e 2) e dois picos locais em x=-2 e x=2 para atingir mp4.

Passo 2

Uma construção explícita usa a função hiperbólica tanh(x), que satisfaz
limxto-inftytanh(x)=-1, limxtoinftytanh(x)=1,
e dois “bump” gaussianos centrados em pm2 para ajustar os valores pontuais. Definimos
f(x)=1+tanh(x) +underbracel(4-l(1+tanh(2)r)r)A,e^-(x-2)^2 +underbracel(-4-l(1+tanh(-2)r)r)B,e^-(x+2)^2

Passo 3

Verificação das condições:
1. Para xto-infty, temos tanh(x)to-1 e os termos gaussianos to0, logo
f(x)to1+(-1)=0
2. Para xtoinfty, temos tanh(x)to1 e os gaussianos to0, logo
f(x)to1+1=2
3. Em x=2, o gaussiano em x-2 vale 1 e o outro vale 0, então
f(2)=1+tanh(2)+l(4-(1+tanh(2))r)cdot1=4
4. Em x=-2, o gaussiano em x+2 vale 1 e o outro vale 0, então
f(-2)=1+tanh(-2)+l(-4-(1+tanh(-2))r)cdot1=-4

Passo 4

Esboçando o gráfico de f(x):
  • À esquerda ( xll0) a curva corre rente a y=0.
  • Aproxima-se de (-2,-4), onde faz um “vale” acentuado e volta a subir.
  • Passa pelo “ombro” típico de tanh em torno de x=0.
  • Em x=2 faz um pico até y=4.
  • Para xgg0 a curva decresce suavemente e se aproxima horizontalmente de y=2.
(*Imagine uma curva em forma de S que ganha um buraco profundo em (-2,-4) e um pico em (2,4), praticamente tangenciando y=0 à esquerda e y=2 à direita.*)

Resposta

Um esboço típico de f tem:
– assíntota horizontal y=0 quando xto-infty,
– vale em (-2,-4),
– transição em forma de “S” cruzando o eixo por volta de x=0,
– pico em (2,4),
– assíntota horizontal y=2 quando xtoinfty.

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