Encontre a transformada de Fourier de cada um dos seguintes sinais e esboce a magnitude e a fase em função da frequência, incluindo as frequências positivas e negativas.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de
, onde
é a função degrau unitário. O conteúdo a usar é a definição da transformada de Fourier de sinais causais e a técnica de integração de exponenciais complexas.
Passo 2
A transformada de Fourier de um sinal
é definida por
Como
para
, a integral reduz-se a
Passo 3
No integrando, somamos os expoentes:
Logo
Essa integral converge pois
.
Passo 4
Usando
para
, temos
Passo 5
Para escrever magnitude e fase, note que
Assim,
Passo 6
Esboço qualitativo:
- A magnitude
é um pico centrado em1raiz1+(omega-2)^2 com valor máximoomega=2 , e decai simetricamente para zero quando1 .omegatopminfty - A fase
vale-arctan(omega-2) em0 , tende aomega=2 para+tfracpi2 e aomegall2 para-tfracpi2 .omegagg2
Resposta
com