Encontre a transformada de Fourier de cada um dos seguintes sinais e esboce a magnitude e a fase em função da frequência, incluindo as frequências positivas e negativas.
e^(-1+2 j) t u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de x(t)=e^(-1+2j)t,u(t), onde u(t) é a função degrau unitário. O conteúdo a usar é a definição da transformada de Fourier de sinais causais e a técnica de integração de exponenciais complexas.

Passo 2

A transformada de Fourier de um sinal x(t) é definida por
X(omega)=integral-infty^inftyx(t),e^-jomega t,dt
Como x(t)=0 para t<0, a integral reduz-se a
X(omega)=integral0^inftye^(-1+2j)t,e^-jomega t,dt

Passo 3

No integrando, somamos os expoentes:
(-1+2j)t - jomega t = -tl(1 + j(omega - 2)r)
Logo
X(omega)=integral0^inftye^-,l(1 + j(omega - 2)r)t,dt
Essa integral converge pois Re1 + j(omega-2)=1>0.

Passo 4

Usando integral0^inftye^-a tdt = 1/a para Rea>0, temos
X(omega) =11 + j(omega - 2)

Passo 5

Para escrever magnitude e fase, note que
X(omega)=11 + j(omega - 2) =1 - j(omega - 2)1+(omega - 2)^2
Assim,
l|X(omega)r| =1raiz1+(omega - 2)^2, argX(omega) =-arctanl(omega - 2r)

Passo 6

Esboço qualitativo:
  • A magnitude 1raiz1+(omega-2)^2 é um pico centrado em omega=2 com valor máximo 1, e decai simetricamente para zero quando omegatopminfty.
  • A fase -arctan(omega-2) vale 0 em omega=2, tende a +tfracpi2 para omegall2 e a -tfracpi2 para omegagg2.

Resposta

X(omega) =11 + j(omega - 2),
com
l|X(omega)r| =1raiz1+(omega - 2)^2, argX(omega) =-arctanl(omega - 2r)

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