Neste problema exploramos a definição da transformada de Fourier de um sinal periódico.
Dado que
Dado que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos dois sinais periódicos
e
de período
e definimos
então a transformada de Fourier de
satisfaz
O conteúdo usado será a definição de séries de Fourier de um sinal periódico e a expressão da transformada de Fourier desse sinal em termos de deltas de Dirac.
Passo 2
Como
é periódico de período
, escrevemos sua série de Fourier:
onde
e
Passo 3
Substituindo
na expansão em séries de Fourier, vem
Pela unicidade dos coeficientes de Fourier, obtemos
Passo 4
A transformada de Fourier de um sinal periódico
é dada por
Logo, para
temos
Distribuindo
e
dentro da soma, reconhecemos as transformadas individuais: