Neste problema exploramos a definição da transformada de Fourier de um sinal periódico.
Dado que x3(t)=a x1(t)+b x2(t) Rightarrow X3(omega)=a X1(omega)+b X2(omega)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos dois sinais periódicos x1(t) e x2(t) de período T e definimos
x3(t)=a,x1(t)+b,x2(t),
então a transformada de Fourier de x3(t) satisfaz
X3(omega)=a,X1(omega)+b,X2(omega)
O conteúdo usado será a definição de séries de Fourier de um sinal periódico e a expressão da transformada de Fourier desse sinal em termos de deltas de Dirac.

Passo 2

Como xi(t) é periódico de período T, escrevemos sua série de Fourier:
xi(t)=sumk=-infty^inftyXi[k],e^j komega0t,
onde omega0 = tfrac2piT e
Xi[k]=1Tintegralt0^t0+Txi(t),e^-j komega0t,dt

Passo 3

Substituindo x3(t)=a,x1(t)+b,x2(t) na expansão em séries de Fourier, vem
x3(t) =sumk=-infty^inftyl(a,X1[k]+b,X2[k]r),e^j komega0t
Pela unicidade dos coeficientes de Fourier, obtemos
X3[k]=a,X1[k]+b,X2[k]forall kinZ

Passo 4

A transformada de Fourier de um sinal periódico xi(t) é dada por
Xi(omega) =2pisumk=-infty^inftyXi[k],de<al(omega-komega0r)
Logo, para x3(t) temos
X3(omega) =2pisumk=-infty^inftyX3[k],de<al(omega-komega0r) =2pisumk=-infty^inftyl(a,X1[k]+b,X2[k]r),de<al(omega-komega0r)
Distribuindo a e b dentro da soma, reconhecemos as transformadas individuais:
X3(omega) =a,X1(omega)+b,X2(omega)

Resposta

X3(omega)=a,X1(omega)+b,X2(omega)

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