Encontre a transformada de Fourier das seguintes funções:
f(t)=\cos \omega_{1} t \cos \omega_{2} t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(t)=\cos(\omega_{1}t)\,\cos(\omega_{2}t).
O conteúdo que vamos usar inclui a identidade trigonométrica produto-para-soma e a transformada de Fourier bilateral
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt,
além da fórmula conhecida
\mathcal{F}\{\cos(\alpha t)\}(\omega) =\pi\bigl[\delta(\omega-\alpha)+\delta(\omega+\alpha)\bigr].

Passo 2

Aplicamos a identidade produto-para-soma:
\cos(\omega_{1}t)\,\cos(\omega_{2}t) =\tfrac12\bigl[\cos\bigl((\omega_{1}+\omega_{2})t\bigr) +\cos\bigl((\omega_{1}-\omega_{2})t\bigr)\bigr].
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f(t)=\tfrac12\cos\bigl((\omega_{1}+\omega_{2})t\bigr) +\tfrac12\cos\bigl((\omega_{1}-\omega_{2})t\bigr).

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Fourier,
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) =\tfrac12\,\mathcal{F}\{\cos((\omega_{1}+\omega_{2})t)\}(\omega) +\tfrac12\,\mathcal{F}\{\cos((\omega_{1}-\omega_{2})t)\}(\omega).

Passo 4

Usando
\mathcal{F}\{\cos(\alpha t)\}(\omega) =\pi\bigl[\delta(\omega-\alpha)+\delta(\omega+\alpha)\bigr],
temos
\mathcal{F}\{\cos((\omega_{1}+\omega_{2})t)\}(\omega) =\pi\bigl[\delta(\omega-(\omega_{1}+\omega_{2})) +\delta(\omega+(\omega_{1}+\omega_{2}))\bigr],
\mathcal{F}\{\cos((\omega_{1}-\omega_{2})t)\}(\omega) =\pi\bigl[\delta(\omega-(\omega_{1}-\omega_{2})) +\delta(\omega+(\omega_{1}-\omega_{2}))\bigr].

Passo 5

Substituindo em

Passo 6

\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) =\frac{\pi}{2}\Bigl[ \delta\bigl(\omega-(\omega_{1}+\omega_{2})\bigr) +\delta\bigl(\omega+(\omega_{1}+\omega_{2})\bigr) +\delta\bigl(\omega-(\omega_{1}-\omega_{2})\bigr) +\delta\bigl(\omega+(\omega_{1}-\omega_{2})\bigr) \Bigr].

Resposta

\boxed{ \mathcal{F}\{\cos(\omega_{1}t)\,\cos(\omega_{2}t)\}(\omega) =\frac{\pi}{2}\bigl[ \delta(\omega-\omega_{1}-\omega_{2}) +\delta(\omega+\omega_{1}+\omega_{2}) +\delta(\omega-\omega_{1}+\omega_{2}) +\delta(\omega+\omega_{1}-\omega_{2}) \bigr]. }

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