ENCONTRE A TRANSFORMADA DAS FUNÇÕES ABAIXO:
f(x)=l0, se 0 <= t <= 3 pi2 cos omega t, se t >= 3 pi2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)= 0, &0<= t<tfrac3pi2, cos(omega t), &t>= tfrac3pi2
Logo, o conteúdo é a definição de transformada de Laplace e a propriedade de “função iniciada em t=a”.

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace é
F(s)=Lf(t)(s) =integral0^inftyf(t)e^-st,dt =integral3pi2^inftycos(omega t),e^-st,dt,
pois f(t)=0 para 0<= t<tfrac3pi2.

Passo 3

Para resolver
integral e^-stcos(omega t),dt,
lembramos que uma primitiva é
integral e^-stcos(omega t),dt =e^-st,scos(omega t)+omegasin(omega t)s^2+omega^2
(é só verificar por derivação e usar que s^2+omega^2 é constante).

Passo 4

Aplicando os limites de t=tfrac3pi2 até ttoinfty, e supondo Re(s)>0 para o termo no infinito desaparecer, obtemos
F(s) =[ -e^-st,scos(omega t)+omegasin(omega t)s^2+omega^2 ]t=3pi2^ttoinfty =e^-3pi2s,scosl(omega3pi2r)+omegasinl(omega3pi2r)s^2+omega^2

Resposta

F(s) =e^-3pi2s, scosl(tfrac3piomega2r) +omegasinl(tfrac3piomega2r)s^2+omega^2

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