Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do primeiro grau, que é do tipo linear. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações lineares e usar o método do fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
y' + 2x y = x^3
Aqui, y' representa a derivada de y em relação a x . Essa equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
y' + P(x) y = Q(x)
Onde, nesse caso, P(x) = 2x e Q(x) = x^3 .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular isso:
mu(x) = e^integral 2x dx = e^2 ln x = x^2

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = x^2 :
x^2 y' + 2x y = x^5
Perceba que a parte da esquerda da equação agora é a derivada do produto x^2 y . Isso é uma grande vantagem porque simplifica a resolução.

Passo 5

Escrevendo a equação simplificada, temos:
ddx (x^2 y) = x^5
Agora, para encontrar y , precisamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx (x^2 y) dx = integral x^5 dx
Isso resulta em:
x^2 y = x^66 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por x^2 :
y = x^66x^2 + Cx^2 = x^46 + Cx^2

Passo 7

Por fim, usamos a condição inicial dada y(1) = 1 para encontrar o valor da constante C :
1 = 1^46 + C1^2 1 = 16 + C C = 1 - 16 = 56

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y = x^46 + 56x^2

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