Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do primeiro grau, que é do tipo linear. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações lineares e usar o método do fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Essa equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Onde, nesse caso,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que a parte da esquerda da equação agora é a derivada do produto
. Isso é uma grande vantagem porque simplifica a resolução.
Passo 5
Escrevendo a equação simplificada, temos:
Agora, para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Por fim, usamos a condição inicial dada
para encontrar o valor da constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: