Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. O conteúdo aqui é de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um método de substituição e aplicar a teoria passo a passo para chegar na solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais clara:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Então,
Isso nos dá uma expressão para a derivada de
em termos de
e
.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos usar uma substituição. Vamos definir
. Isso significa que
e, derivando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Simplificando:
Substituindo
:
Multiplicando tudo por
:
Passo 6
Aplicando a condição inicial
:
Substituindo
e
na equação:
Então, a equação simplifica para:
Passo 7
Agora, resolvemos essa equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: