Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. O conteúdo aqui é de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um método de substituição e aplicar a teoria passo a passo para chegar na solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais clara:
-y - x + (2y - x), y' = 0
Aqui, y' representa a derivada de y em relação a x .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para isolar y' :
(2y - x), y' = y + x
Então,
y' = y + x2y - x
Isso nos dá uma expressão para a derivada de y em termos de y e x .

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos usar uma substituição. Vamos definir u = yx . Isso significa que y = u cdot x e, derivando ambos os lados em relação a x , obtemos:
y' = u + x, dudx
Substituindo y e y' na equação original:
u + x, dudx = u cdot x + x2u cdot x - x = u + 12u - 1
Simplificando, temos:
x, dudx = u + 12u - 1 - u = 2u + 1 - 2u^22u - 1

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
2u - 12u^2 - 2u - 1, du = dxx
Integrando ambos os lados:
-12 ln|2u^2 - 2u - 1| = ln|x| + C
Onde C é a constante de integração. Simplificando:
2u^2 - 2u - 1 = Cx^-2
Substituindo u = yx :
2(yx)^2 - 2(yx) - 1 = Cx^-2
Multiplicando tudo por x^2 :
2y^2 - 2xy - x^2 = C

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(0) = 0 :
Substituindo x = 0 e y = 0 na equação:
2(0)^2 - 2(0)(0) - (0)^2 = C Rightarrow C = 0
Então, a equação simplifica para:
2y^2 - 2xy - x^2 = 0

Passo 7

Agora, resolvemos essa equação quadrática em y :
2y^2 - 2xy - x^2 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y = 2x pm raiz(2x)^2 + 8x^24 = 2x pm raiz12x^24 = 2x pm 2xraiz34 = x(1 pm raiz3)2

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = 1 + raiz32 , x ou y(x) = 1 - raiz32 , x

Exercícios relacionados